엘제곱과 엘제트의 동시 고유함수에 대한 고유값
eigenvalue of l2 lz
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※글이 길지만 최대한 자세히 설명했으니 천천히 따라와보길 바란다.각운동량의 각 성분끼리의 교환 관계를 구하는 것에서 부터 각운동량의 제곱과 각운동량 성분의 교환 관계를 구하는 것 까지 왔다.
각운동량 연산자의 교환 관계$\mathrm{commutation\ relation} $$ \left[L_j,\ L_k \right]=i\hbar \epsilon_{jkm}L_m$
$\mathbf L^2$과 $L_{z}$는 서로 교환 가능하다 $(\mathrm{commutativity}) $$ [\mathbf L^2, L_{z}]=0$
$\mathrm{commute}$한 두 연산자는 다시말해, 교환 관계가 $0$인 두 연산자는 각각의 고유값 방정식을 동시에 만족하는 공동의 고유함수를 가진다.그럼 지금부터 연산자 $\mathbf L^2$와 $L_{z}$의 동시 고유함수를 $|\psi>$라고 하자.그리고 $\mathbf L^2$의 고유값을 $\lambda$, $L_{z}$의 고유값을 $\mu$라고 하면 고유값 방정식은 아래와 같다.$\mathbf L^2 |\psi>=\lambda |\psi> $$ L_{z}|\psi>=\mu|\psi>$우선 새로운 연산자를 아래와 같이 정의하고 각운동량의 사다리연산자라고 부르자.$L_\pm \equiv L_{x} \pm iL_{y}$이 때 $L_{z}$와 $L_\pm$의 교환자는 $[L_{z}, L_\pm]=L_{z}L_\pm -L_\pm L_{z}=\pm \hbar L_\pm$이므로 (링크의 4번 참고)$\begin{align*} L_{z} (L_\pm |\psi>) =&\ ( L_\pm L_{z} \pm \hbar L_\pm )|\psi> \\ =&\ (\mu L_\pm \pm \hbar L_\pm )|\psi> \\ =&\ (\mu \pm \hbar)(L_\pm |\psi> ) \end{align*} $이 때 처음 세운 고유값 방정식과 비교해보자.$|\psi>$의 $L_{z}$에 대한 고유값은 $\mu$였는데 연산자 $L_\pm$을 적용시키니 고유값이 $\mu \pm \hbar$가 되었다.즉, $|\psi>$에 $L_\pm$을 적용시키면 $L_{z}$에 대한 고유값이 $\hbar$만큼 커지거나 작아진다.따라서 $L_+$를 올림연산자$\mathrm{Raising\ Operator}$라고 부르고 $L_-$를 내림연산자$\mathrm{Lowering\ Operator}$라고 부르겠다.반면에 사다리 연산자$L_\pm$는 $\mathbf L^2$의 고유값은 변화시키지 못한다.그 이유는 두 연산자가 서로 $\mathrm{commute}$하기 때문인데 수식으로 표현하면 아래와 같다. (링크의 5번 참고) $\mathbf L^2 (L_\pm |\psi >)=L_\pm (\mathbf L^2 |\psi>)=L_\pm \lambda |\psi> = \lambda (L_\pm |\psi>)$또한 사다리 연산자가 $L_{z}$의 교유값을 변화시키지만 고유값을 올리거나 내리는 것을 무한히 반복할 수는 없다.각운동량 각 성분의 크기가 전체 각운동량 크기보다 작아야하기 때문이다.수식으로 표현하면 아래와 같다.$\langle \mathbf L^2 \rangle = \langle {L_{x}}^2 \rangle + \langle {L_{y}}^2 \rangle + \langle {L_{z}}^2 \rangle $$ \implies \lambda = \langle {L_{x}}^2 \rangle + \langle {L_{y}}^2 \rangle + \mu ^2 \ge \mu^2$그래서 더 이상 올라갈 수 없는 꼭대기 상태가 존재해야 한다. 이 가장 높은 상태의 다음 상태는 존재하지 않으므로 올림연산자를 적용시키면 값이 $0$이다.꼭대기 상태를 $|\psi_\uparrow>$라고 표현하면 고유값 방정식은$L_+|\psi_\uparrow>=0$이다.이제 $L_{z}$의 가장 높은 상태에 대한 고유값(즉, 고유값 중에서 가장 큰 값)을 $l \hbar $이라고 하자.이렇게 두는 이유는 올림 연산자에 의해 고유값이 $\hbar$씩 오르기 때문이다.그러면 고유값 방정식은$L_{z}|\psi_\uparrow >=l \hbar |\psi_\uparrow > $$ \mathbf L^2|\psi_\uparrow> = \lambda |\psi_\uparrow>$ 이다.이 때 $\mathbf L^2=L_-L_+ + {L_{z}}^2 +\hbar L_{z}$이므로 (링크의 3번 참고)$\begin{align*} \mathbf L^2 |\psi_\uparrow> =&\ (L_-L_+ + {L_{z}}^2 + \hbar L_{z})|\psi_\uparrow> \\ =&\ (0 + l^2\hbar^2 + l\hbar^2)|\psi_\uparrow> \\ =&\ l(l+1)\hbar^2 |\psi_\uparrow> \\ =&\ \lambda |\psi_\uparrow> \end{align*}$따라서 $\lambda = l(l+1) \hbar^2 $이고 $L_{z}$의 가장 큰 고유값을 알면 $\mathbf L^2$의 고유값도 알 수 있다는 것이다.같은 원리로 내림 연산자$L_-$ 역시 무한히 적용시킬 수 없고, 더이상 고유값이 내려가지 않는 가장 낮은 상태가 존재한다.가장 낮은 상태를 $|\psi_\downarrow>$, 이 때의 고유값을 $l^{\prime}\hbar$라고 하면$L_-|\psi_\downarrow>=0$을 만족하고, 고유값 방정식은$L_{z}|\psi_\downarrow >=l^{\prime} \hbar |\psi_\downarrow > $$ \mathbf L^2|\psi_\downarrow> = \lambda |\psi_\downarrow>$ 이다.위에서 했던 것과 마찬가지로 $\mathbf L^2=L_+L_- +{L_{z}}^2 -\hbar L_{z}$임을 이용하면 (링크의 3번 참고)$\begin{align*} \mathbf L^2 |\psi_\downarrow> =&\ (L_+L_- + {L_{z}}^2 - \hbar L_{z})|\psi_\downarrow> \\ =&\ (0 + {l^{\prime}}^{2}\hbar^2 - l^{\prime}\hbar^2)|\psi_\downarrow> \\ =&\ l^{\prime}(l^{\prime}-1)\hbar^2 |\psi_\downarrow> \\ =&\ \lambda |\psi_\downarrow> \end{align*}$따라서 $\lambda = l^{\prime}(l^{\prime}-1)\hbar^2$이다.위에서 구한 두 결과$\lambda=l(l+1)\hbar^2 $$ \lambda=l^{\prime}(l^{\prime}-1)\hbar^2$로 인하여$l(l+1)\hbar^2=l^{\prime}(l^{\prime}-1)\hbar^2 $$ \implies l(l+1)=l^{\prime}(l^{\prime}-1)$가 성립한다.그러면${l^{\prime}}^{2} -l^{\prime} -l(l+1)=0 $$ \implies { l^{\prime} + l } {l^{\prime} -(l+1) }=0$ 이므로$l^{\prime}=-l \ \mathrm{or}\ l^{\prime}=l+1$이다.이 때 $l\hbar$는 가장 높은 상태의 고유값 즉, 가장 큰값이고 $l^{\prime}\hbar$는 가장 낮은 상태의 고유값 즉, 가장 작은 값이다.그러므로 $l^{\prime}=l+1$은 성립할 수 없다.당연하게도 가장 작은 값이 가장 큰 값보다 클 수는 없기 때문이다.따라서 $l^{\prime}=-l$이다.$\mu$의 최댓값이 $l\hbar$, 최솟값이 $-l\hbar$이므로 $L_{z}$의 고유값 $\mu$의 범위는 $-l\hbar \le \mu \le l \hbar$이다.$\mu=m\hbar$라고 하면 $L_{z}$의 고유값 방정식을 다음과 같이 표현할 수 있다.$L_{z}|\psi>=m\hbar|\psi> $$ L_{z}(L_\pm |\psi>)=(m \pm 1)\hbar(L_\pm |\psi>)$이 때 $m$의 최댓값이 $l$이고 최솟값이 $-l$인데 사다리 연산자에 의해 이 가능한 $m$값들은 $1$씩 차이난다.즉, 가장 높은 상태에서 가장 낮은 상태까지 내림 연산자를 적용시킬 수 있는 횟수를 $n$이라고 한다면$l-n=-l \ \implies \ 2l=n \ \implies \ \displaystyle l=\frac{n}{2}$이다.$n$이 정수이므로 가능한 $l$값은 정수이거나 정수의 반(반정수)이다.정리하면 가능한 $l$값의 범위는 $l=0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \cdot $가능한 $m$값의 범위는 $m= -l, -l+1, -l+2, \cdots , l-2, l-1, l$ 이다.따라서 주어진 $l$에 대해서 가능한 $m$값이 $(2l+1)$개 이므로 $(2l+1)$개의 상태가 존재한다.이 때 $l$ 값이 정수 일 때가 궤도 각운동량 에 대한 고유값 방정식이다.궤도 각운동량은 우리가 고전적으로 알고 있는 각운동량과 같다.따라서 표기법 역시 고전적일 때와 같이 $\mathbf L$이다.반면 $l$ 값이 반정수 일 때의 각운동량을 스핀 각운동량 이라고 하며 $\mathbf L$대신 $\mathbf S$로 표기한다.이는 고전적으로 대응되는 물리량이 없는, 양자현상에서만 나타나는 고유한 물리량이다.고전적으로 비교할 만한 것이 없어서 처음에 받아들이기 조금 힘든 개념이다.스핀에 대한 자세한 설명은 다른 글에서 다루겠다.그리고 앞으로 두 연산자 $\mathbf L^2, L_{z}$에 대한 동시 고유함수들은 $l, m$으로 구분되므로 $|l,m>$으로 표기하자.
