에르미트 행렬의 고유값은 항상 실수다

에르미트 행렬의 고유값은 항상 실수다

Eigenvalue of hermitian matrix is real number

정리

$A$를 크기가 $n \times n$인 에르미트 행렬이라고 하자. 그러면 $A$ 의 고유값은 모두 실수다.

설명

일반적인 행렬에서 고유값이 실수라는 보장은 없고, 에르미트 행렬에 대해서는 증명을 통해 실수임을 확인할 수 있다.

직관적으로는 떠올리기 쉽지 않지만 증명 자체는 간단한 편이고, 팩트로써도 상당히 유용하다.후에 이어지는 양의 정부호 등의 개념과 결합해 여러가지 좋은 결과를 주므로 꼭 알아두도록 하자.

증명

$A$ 의 고유값을 $\lambda$, $\lambda$ 에 해당하는 고유벡터를 $\mathbf{x}$라고 하자. 그러면 고유값 방정식은 다음과 같다.

$$ A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} $$

양변의 좌측에 $\mathbf{x}^{\ast}$를 곱하면 다음과 같다.

$$ \begin{equation} \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}^{\ast} \mathbf{x} \end{equation} $$

양변에 켤레 전치 $^{ \ast }$를 취하면 켤레 전치의 성질에 의해 다음과 같다.

$$ \begin{align*} & \left( \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} \right) ^{\ast} =& \left( \lambda \mathbf{x}^{\ast} \mathbf{x} \right) ^{\ast} \\ \implies && \mathbf{x}^{\ast} A^{ \ast } \mathbf{x} =& \overline{\lambda} \mathbf{x}^{ \ast } \mathbf{x} \end{align*} $$

$A$ 는 에르미트 행렬이므로 $A=A^{\ast}$이고 위 식은 아래와 같다.

$$ \begin{equation} \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} = \overline{\lambda} \mathbf{x}^{ \ast } \mathbf{x} \end{equation} $$

$(1)$과 $(2)$ 에 의해 다음의 식이 성립한다.

$$ \lambda \mathbf{x}^{ \ast } \mathbf{x} = \mathbf{x}^{ \ast } A \mathbf{x} = \mathbf{x}^{ \ast } A^{ \ast } \mathbf{x} = \overline{\lambda} \mathbf{x}^{ \ast } \mathbf{x} $$

따라서 $$ ( \lambda - \overline{\lambda} ) \mathbf{x}^{ \ast } \mathbf{x} = 0 $$

그런데 $\mathbf{x}$ 는 고유벡터이므로 $\mathbf{0}$ 이 아니다. 따라서 $\mathbf{x}^{\ast} \mathbf{x} \ne \mathbf{0}$이다. 그러므로

$$ \lambda = \overline{\lambda} $$

가 성립하고 이는 $\lambda$가 실수임을 의미한다.

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