맵으로 표현되는 동역학계와 고정점

맵으로 표현되는 동역학계와 고정점

정의1

  1. 정의역과 공역이 같은 함수 $f : X \to X$ 를 Map이라고 한다. $f$ 를 $k$ 번 합성한 맵을 $f^{k}$ 와 같이 나타낸다.
  2. $f(p) = p$ 를 만족하는 $p \in X$ 를 고정점Fixed Point이라고 한다.
  3. 모든 $x \in N_{ \epsilon } ( p )$ 에 대해 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} f^{k} (x) = p$ 를 만족하는 $\epsilon > 0$ 이 존재하면 고정점 $p$ 를 싱크Sink라 한다.
  4. $p$ 를 제외한 모든 $x \in N_{\epsilon } (p)$ 에 대해 $f^{ \infty } (x) \notin N_{\epsilon } (p)$ 를 만족하는 $\epsilon > 0$ 이 존재하면 고정점 $p$ 를 소스Source라 한다.

예시

  1. $X$ 에서 정의된 맵은 $X$ 의 각 점 $x_{t-1}$ 을 $x_{t}$ 으로 매핑함으로써 동역학계를 이룬다. 간략한 예로 시간 $t$ 가 $1$ 만큼 변할때마다 $x$ 방향으로 $60$ 만큼 이동하는 점이 있다면 이 점의 위치는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ x_{t} = f(x_{t-1}) = x_{t-1} + 60 $$
  2. 또 다른 맵의 예로써 $f(x) = x^3$ 을 생각해보면 $$f(0) = 0 \\ f( \pm 1) = \pm 1$$ 이므로 $0$ 과 $\pm 1$ 은 고정점이다.
  3. 그 중에서도 $0$ 을 포함하는 충분히 작은 구간 $( - 1, 1)$ 의 모든 수들은 제곱을 취할때마다 작아져서 결국엔 $0$ 으로 수렴하므로 싱크다.
  4. $\pm 1$ 을 포함하는 어떤 구간을 생각해봐도 그 크기가 $1$ 보다 큰 수는 세제곱을 취할때마다 그 크기가 커지므로 소스다.

싱크란 가까운 곳의 점이 모여드는 일종의 ‘수렴점’, 소스란 가까웠던 점들이 점점 멀어지는 일종의 ‘발산점’이라고 볼 수 있다. 그래서 싱크를 스테이블Stable 한 고정점, 소스를 언스테이블Unstable 한 고정점이라고도 부른다.

이는 그래프 이론의 싱크, 소스와 비슷하다.


  1. Yorke. (1996). CHAOS: An Introduction to Dynamical Systems: p5, 9. ↩︎

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