듀얼 스페이스

듀얼 스페이스

정의 1

벡터공간 $X$의 모든 연속인 선형 범함수들의 집합을 $X^{ \ast }$로 표기하고 이를 $X$의 듀얼 스페이스dual space, 간단히 $X$의 듀얼이라 하고 다음과 같이 표기한다.

$$ X^{ \ast }:=\left\{ x^{ \ast }:X\to \mathbb{C}\ |\ x^{ \ast } \text{ is continuous and linear} \right\} $$

$$ X^{ \ast }:=B(X,\mathbb{C}) $$

설명

정의상 듀얼 스페이스의 듀얼 스페이스에 대해서도 말할 수 있다. 이 경우 $X^{\ast \ast}=\left( X^{ \ast } \right)^{ \ast }$와 같이 표기하고 바이듀얼bidual, 더블 듀얼double dual, 세컨드 듀얼second dual등으로 부른다.

오퍼레이터 놈 $\displaystyle \| f \| = \sup_{\substack{x \in X \\ \| x \| =1}} | f(x) |$ 에 대해 $(X^{ \ast } , \| \cdot \| )$ 은 바나흐 공간이 된다. 이에 대해 다음의 정리가 성립한다.

정리

$X$가 유한 차원이면 $\dim X^{ \ast } = \dim X$

증명

전략: $\dim X$ 의 베이시스를 이용해 $\dim X^{ \ast }$ 가 유한 차원이 되게끔 하는 베이시스를 만든다.


$\dim X = n$ 이라고 하면 $X$ 는 유한 차원이므로 베이시스 $\left\{ \tilde{ e_{1} } , \cdots , \tilde{ e_{n} } \right\}$ 를 갖는다.이에 대해 $\displaystyle e_{j} : = {{ \tilde{e_{j} } } \over { \| \tilde{ e_{j} } \| }} \in X$ 이라고 하면 $\| e_{j} \| = 1$ 이고 $\left\{ e_{1} , \cdots , e_{n} \right\}$ 은 여전히 $X$ 의 베이시스다. 이제 $e_{j}^{ \ast } : (X , \| \cdot \| ) \to ( \mathbb{C} , | \cdot | )$ 을 다음과 같이 정의하자.

$$ e_{j}^{ \ast } (x) := e_{j}^{ \ast } \left( \sum_{j=1} \lambda_{k} e_{k} \right) = \lambda_{j} $$

선형작용소의 성질

$T : (X , \| \cdot \|_{X}) \to ( Y , \| \cdot \|_{Y} )$ 가 선형작용소라고 하자. $X$ 가 유한 차원 공간이면 $T$ 는 연속이다.

$\dim X = n$ 이라고 가정했으므로 $e_{j}^{ \ast }$ 는 연속 선형범함수고, 따라서 $e_{j}^{ \ast } \in X^{ \ast }$ 이다. $e_{j}^{ \ast }$ 의 정의에 따르면

$$ e_{j}^{ \ast } ( e_{i} ) = \begin{cases} \displaystyle e_{j}^{ \ast } ( 1 \cdot e_{i} ) = 1 & , i = j \\ \displaystyle e_{j}^{ \ast } ( 0 \cdot e_{i} + 1 \cdot e_{j} ) = 0 & , i \ne j \end{cases} = \delta_{ij} $$

[ NOTE: 이러한 $\left\{ e_{1}^{ \ast }, \cdots , e_{n}^{ \ast } \right\}$ 을 $X^{ \ast }$ 의 캐노니컬 베이시스라 한다. ]

선형범함수가 선형독립결합으로 나타나는 필요충분조건

$f_{1} , \cdots , f_{n}$ 가 정의역이 $X$ 인 선형범함수라고 하자.

$f_{1} , \cdots , f_{n}$ 이 선형독립 $\iff$ $f_{j} (x_{i} ) = \delta_{ij}$ 을 만족하는 $x_{1} , \cdots , x_{n}$ 이 존재

$f \in X^{ \ast }$ 을 임의의 $\displaystyle x = \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \in X$ 에 작용시키면

$$ f(x) = \sum_{i=1}^{n} t_{i} f(e_{i} ) = \sum_{i=1}^{n} t_{i} f(e_{i} ) = \sum_{i=1}^{n} f(e_{i} ) t_{i} $$

$\displaystyle t_{i} = e_{i}^{ \ast } \left( \sum_{k=1}^{n} t_{k} e_{k} \right) = e_{i}^{ \ast } (x)$ 이므로

$$ f(x) = \sum_{i=1}^{n} f(e_{i} ) e_{i}^{ \ast } (x) = \left[ \sum_{i=1}^{n} f(e_{i} ) e_{i}^{ \ast } \right] (x) $$

따라서

$$ f = \sum_{i=1}^{n} f(e_{i} ) e_{i}^{ \ast } \in \text{span} \left\{ e_{1}^{ \ast } , \cdots , e_{n}^{ \ast } \right\} $$

즉 $\left\{ e_{1}^{ \ast } , \cdots , e_{n}^{ \ast } \right\}$ 가 $X^{ \ast }$ 의 베이시스가 되어 $\dim X^{ \ast } = n$ 다.


  1. Kreyszig. (1989). Introductory Functional Analysis with Applications: p106. ↩︎

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