해석적 수론에서의 디바이저 함수

해석적 수론에서의 디바이저 함수

정의 1

$\alpha \in \mathbb{C}$ 에 대해 다음과 같이 정의된 $\sigma_{\alpha} : \mathbb{N} \to \mathbb{C}$ 을 디바이저 함수라 부른다. $$ \sigma_{\alpha} (n) := \sum_{d \mid n} d^{\alpha} $$

기초 성질

설명

특히

증명

[1]

디리클레 곱과 승법적 성질: $f$ 와 $g$ 가 승법적 함수면 $f \ast\ g$ 도 승법적 함수다.

유닛 함수 $u$ 와 거듭제곱 함수 $N^{\alpha}$ 를 다음과 같이 정의하자. $$ u(n) := 1 \\ N^{\alpha} (n) := n^{\alpha} $$ $u$ 와 $N^{\alpha}$ 는 승법적 함수이므로 그 컨볼루션인 $$ \left( N^{\alpha} \ast\ u \right)(n) = \sum_{d \mid n} N^{\alpha} (d) u \left( {{ d } \over { n }} \right) = \sum_{d \mid n} d^{\alpha} = \sigma_{\alpha} (n) $$ 역시 승법적 함수여야한다.

[2]

$p^{a}$ 의 약수는 $1 , p , \cdots ,p^{a}$ 이므로 $$ \sigma_{\alpha} ( n) = 1 + p^{\alpha} + \cdots + p^{a\alpha} $$ $\alpha = 0$ 이면 $$ \sigma_{\alpha} ( n) = \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{a+1} = a + 1 $$ $\alpha \ne 0$ 이면 등비 급수 공식 에 따라 $$ \sigma_{\alpha} ( n) = {{ p^{\alpha (a+1)} - 1 } \over { p^{\alpha} - 1 }} $$


  1. Apostol. (1976). Introduction to Analytic Number Theory: p38. ↩︎

댓글