3차원 데카르트 좌표계에서 벡터 함수의 다이벌전스(발산) 📂수리물리

3차원 데카르트 좌표계에서 벡터 함수의 다이벌전스(발산)

divergence of fector function in cartesian cooridenates system

정의

벡터 함수 $\mathbf{F}(x,y,z)=F_{x}\hat{\mathbf{x}}+F_{y}\hat{\mathbf{y}} + F_{z}\hat{\mathbf{z}}$에 대해서 다음과 같은 스칼라값을 $\mathbf{F}$ 다이벌전스divergence라고 정의하고 $\nabla \cdot \mathbf{F}$라고 표기한다.

$$ \begin{equation} \nabla \cdot \mathbf{F} := \frac{ \partial F_{x}}{ \partial x} + \frac{ \partial F_{y}}{ \partial y }+ \frac{ \partial F_{z}}{ \partial z} \label{divergence} \end{equation} $$


기하학적으로 $\nabla \cdot \mathbf{F}>0$이면 $\mathbf{F}$가 퍼져나가는, 밖으로 나가는 모양을 하고 있음을 의미하고, $\nabla \cdot \mathbf{F}<0$이면 $\mathbf{F}$가 모여드는, 안으로 들어오는 모양을 하고 있음을 의미하고, $\nabla \cdot \mathbf{F}=0$이면 $\mathbf{F}$가 퍼지거나 모이지 않는, 나가거나 들어오는 양이 같은 모양을 하고 있음을 의미한다.

설명

divergence는 발산으로 번역된다. 생새우초밥집에서는 기울기를 그래디언트, 회전을 컬로 사용하므로 통일감을 위해 발산 대신 다이벌전스를 사용한다.

주의할 점

$\nabla \cdot \mathbf{F}$는 절대로 $\nabla$와 $\mathbf{F}$의 내적이 아니다. 그저 $\nabla \cdot \mathbf{F}$는 $\mathbf{F}$에 대한 어떤 정보를 담고 있는 스칼라이다. $\nabla$를 $\nabla=\frac{ \partial }{ \partial x}\hat{\mathbf{x}} +\frac{ \partial }{ \partial y}\hat{\mathbf{y}}+\frac{ \partial }{ \partial z}\hat{\mathbf{z}}$와 같은 벡터라고 생각하면 $\eqref{divergence}$과 계산이 찰떡같이 맞아떨어지는 것처럼 보이므로 편의를 위해 $\nabla \cdot \mathbf{F}$와 같이 표기하는 것일 뿐이다. 만약 이게 실제로 내적이라면, 내적은 교환법칙이 성립하므로 다음과 같은 등식이 성립한다는 이상한 결론이 나온다.

$$ \mathbf{F} \cdot \nabla = F_{x} \dfrac{\partial }{\partial x} + F_{y} \dfrac{\partial }{\partial y} + F_{z} \dfrac{\partial }{\partial z} \overset{?}{=} \frac{ \partial F_{x}}{ \partial x} + \frac{ \partial F_{y}}{ \partial y }+ \frac{ \partial F_{z}}{ \partial z} = \nabla \cdot \mathbf{F} $$

$\mathbf{F} \cdot \nabla$라는 표현은 단독으로 쓰이진 않고, 다음과 같은 식을 간단하게 표현할 때 쓰인다. $$ F_{x} \dfrac{\partial A_{x}}{\partial x} \hat{\mathbf{x}} + F_{y} \dfrac{\partial A_{y}}{\partial y} \hat{\mathbf{y}} + F_{z} \dfrac{\partial A_{z}}{\partial z} \hat{\mathbf{z}} = (\mathbf{F} \cdot \nabla) \mathbf{A} $$

따라서 $\nabla \cdot \mathbf{F}$는 $\nabla$와 $\mathbf{F}$의 내적으로 이해하면 안되고, $\nabla \cdot$ 자체를 하나의 함수처럼 생각하여 다음과 같이 이해하는 것이 옳다.

$$ \nabla \cdot (\mathbf{F}) = \frac{ \partial F_{x}}{ \partial x} + \frac{ \partial F_{y}}{ \partial y }+ \frac{ \partial F_{z}}{ \partial z} $$

정의 유도

우선 아래와 같이 3차원 공간에서 미소 부피를 생각해보자.

11.PNG

지금 우리의 목적은 $\mathbf{F}$가 저 미소 부피 속의 각 좌표에서 어떻게 생겼는지를 아는 것이다. 현실에 빗대어 말하자면 $\mathbf{F}$가 열이라면 어떤 방향으로, 어떤 속도로 흐르고 있는지를, $\mathbf{F}$가 물이라면 이게 수도꼭지에서 나오는 물인지, 하수구로 들어가는 물인지를 알고자 하는 것이다. 우선 $x$축 방향에 대해서만 계산해보자. $\mathbf{F}$가 $d\mathbf{a}_{1}$을 통과하는 양은 두 벡터의 내적으로 구할 수 있다.

$$ \begin{align} \mathbf{F}(x+dx) \cdot d\mathbf{a}_{1} &= \left( F_{x}(x+dx)\hat{\mathbf{x}}+F_{y}(x+dx)\hat{\mathbf{y}}+F_{z}(x+dx)\hat{\mathbf{z}} \right) \cdot dydz\hat{\mathbf{x}} \nonumber \\ &= F_{x}(x+dx)dydz\hat{\mathbf{x}} \label{eq1} \end{align} $$

$F_{x}(x+dx)dydz >0$이면 $\mathbf{F}$가 미소 부피를 빠져나가는 양이고, $F_{x}(x+dx)dydz<0$이면 $\mathbf{F}$가 미소 부피로 들어오는 양이된다. 마찬가지로 $\mathbf{F}$가 $d\mathbf{a}_{2}$를 빠져나가는 양은 다음과 같다.

$$ \begin{equation} \mathbf{F}(x) \cdot d \mathbf{a}_{2} = F_{x}(x)\hat{\mathbf{x}} \cdot(-dydz\hat{\mathbf{x}})=-F_{x}(x)dydz \label{eq2} \end{equation} $$

따라서 $\eqref{eq1}+\eqref{eq2}$는 미소 부피에서 $\mathbf{F}$의 $x$축 방향에 대항 유입량(유출량)이다.

$$ \begin{align*} \eqref{eq1}+\eqref{eq2} &=\left[ F_{x}(x+dx) -F_{x}(x)\right]dydz \\ &= \frac{F_{x}(x+dx) -F_{x}(x) }{dx}dxdydz \end{align*} $$

그런데 $dx$가 미소 길이이므로 $\dfrac{F_{x}(x+dx) -F_{x}(x) }{dx}\approx \dfrac{ \partial F_{x}}{ \partial x }$와 같이 근사할 수 있다. 따라서 $\mathbf{F}$가 $x$축 방향으로 미소 부피로 들어오거나 나가는 양은 아래와 같이 나타난다.

$$ \frac{ \partial F_{x}}{ \partial x}dxdydz $$ 마찬가지로 $y$축 방향, $z$축 방향에 대해서 계산하면 아래와 같은 결과를 얻는다.

$$ \frac{ \partial F_{y}}{ \partial y}dxdydz \quad \text{and} \quad \frac{ \partial F_{z}}{ \partial z}dxdydz $$

이를 다 더하면 $\mathbf{F}$가 미소 부피로 들어오거나 나가는 양이 되고 $dxdydz$로 나누면 단위부피당 유입량(유출량)이 된다.

$$ \frac{ \partial F_{x}}{ \partial x}+\frac{ \partial F_{y}}{ \partial y}+\frac{ \partial F_{z}}{ \partial z} $$

이제부터 이를 $\mathbf{F}$의 다이벌전스라고 부르고 $\nabla \cdot \mathbf{F}$라고 표기하자.

$$ \nabla \cdot \mathbf{F} := \frac{ \partial F_{x}}{ \partial x}+\frac{ \partial F_{y}}{ \partial y}+\frac{ \partial F_{z}}{ \partial z} $$

유도되는 과정을 보면 알겠지만 위에서 언급했듯이 $\nabla \cdot \mathbf{F}$는 절대 $\nabla$와 $\mathbf{F}$의 내적이 아니다. 이 점을 주의하도록 하자.

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