곡선 좌표계에서 벡터 함수의 다이벌전스발산

곡선 좌표계에서 벡터 함수의 다이벌전스발산

divergence of a vector function in a cuvilinear coordinate system

정리

곡선 좌표계에서 벡터 함수 $\mathbf{F}=\mathbf{F}(q_{1},q_{2},q_{3})=F_{1}\hat{\mathbf{q}}_{1}+F_{2}\hat{\mathbf{q}}_{2}+F_{3}\hat{\mathbf{q}}_{3}$의 다이벌전스는 다음과 같다.

$$ \nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\left[ \frac{ \partial }{ \partial q_{1} }(h_{2}h_{3}F_{1})+\frac{ \partial }{ \partial q_{2} }(h_{1}h_{3}F_{2})+\frac{ \partial }{ \partial q_{3} }(h_{1}h_{2}F_{3}) \right] $$

$h_{i}$는 스케일 팩터이다.

공식

  • 직교 좌표계:

    $$ h_{1}=h_{2}=h_{3}=1 $$

    $$ \begin{align*} \nabla \cdot \mathbf{F} =\frac{\partial F_{x}}{\partial x}+\frac{\partial F_{y}}{\partial y}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z} \end{align*} $$

  • 원통 좌표계:

    $$ h_{1}=1,\quad h_{2}=\rho,\quad h_{3}=1 $$

    $$ \begin{align*} \nabla \cdot \mathbf{F} &=\frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial (\rho F_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (F_{\phi})}{\partial \phi}+\frac{\partial (\rho F_{z})}{\partial z} \right) \\ &=\frac{1}{\rho}\frac{\partial (\rho F_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial F_{\phi}}{\partial \phi}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z} \end{align*} $$

  • 구 좌표계:

    $$ h_{1}=1,\quad h_{2}=r\quad, h_{3}=r\sin\theta $$

    $$ \begin{align*} \nabla \cdot \mathbf{F} &=\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\left( \frac{\partial (r^2\sin\theta F_{r})}{\partial r}+\frac{\partial (r\sin\theta F_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial (rF_{\phi})}{\partial \phi} \right) \\ &=\frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2 F_{r})}{\partial r}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial (\sin\theta F_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_{\phi}}{\partial \phi}
    \end{align*} $$

유도

3차원 데카르트 좌표계에서 벡터함수 $\mathbf{F}$의 다이벌전스 $\nabla \cdot \mathbf{F}$는 $\mathbf{F}$가 어떻게 흐르는지를 알려주는 지표였다. 같은 방법으로 곡선 좌표계에서의 다이벌전스를 얻을 수 있다. 우선 $q_{1}$축 방향에 대해서만 계산해보자. $\mathbf{F}$가 $d\mathbf{a}_{1}$, $d\mathbf{a}_{2}$를 통과하는 양은 두 벡터의 내적으로 구할 수 있다. 계산은 데카르트 좌표계에서와 같으므로 일부 생략하겠다.

$$ \begin{align*} \mathbf{F}(q_{1}+dq_{1},q_{2},q_{3})\cdot d\mathbf{a}_{1} &= F_{1}(q_{1}+dq_{1},q_{2},q_{3})h_{2}h_{3}dq_{2}dq_{3} \\ \mathbf{F}(q_{1},q_{2},q_{3})\cdot d\mathbf{a}_{2} &=- F_{1}(q_{1},q_{2},q_{3})h_{2}h_{3}dq_{2}dq_{3} \end{align*} $$

그리고 이 둘의 합이 유입량(유출량)이다.

$$ \begin{align*} &F_{1}(q_{1}+dq_{1},q_{2},q_{3})h_{2}h_{3}dq_{2}dq_{3}- F_{1}(q_{1},q_{2},q_{3})h_{2}h_{3}dq_{2}dq_{3} \\ =&\ \frac{F_{1}(q_{1}+dq_{1},q_{2},q_{3})h_{2}h_{3}- F_{1}(q_{1},q_{2},q_{3})h_{2}h_{3} }{dq_{1}}dq_{1}dq_{2}dq_{3} \\ \approx &\frac{ \partial (F_{1}h_{2}h_{3})}{ \partial q_{1}}dq_{1}dq_{2}dq_{3} \end{align*} $$

마찬가지 방법으로 $q_{2}$, $q_{3}$에 대해서 구하면 다음과 같다.

$$ \frac{ \partial (F_{2}h_{1}h_{3})}{ \partial q_{2}}dq_{1}dq_{2}dq_{3}\quad \text{and} \quad \frac{ \partial (F_{3}h_{1}h_{2})}{ \partial q_{3}}dq_{1}dq_{2}dq_{3} $$

이를 다 더하면 $\mathbf{F}$가 들어오거나 나가는 양이 되고 부피인 $dV=h_{1}h_{2}h_{3}dq_{1}dq_{2}dq_{3}$로 나누면 단위부피당 유입량(유출량)이 된다.

$$ \begin{align*} & \frac{ \partial (F_{1}h_{2}h_{3})}{ \partial q_{1}}dq_{1}dq_{2}dq_{3}+\frac{ \partial (F_{2}h_{1}h_{3})}{ \partial q_{2}}dq_{1}dq_{2}dq_{3}+\frac{ \partial (F_{3}h_{1}h_{2})}{ \partial q_{3}}dq_{1}dq_{2}dq_{3} \\ =&\ \left( \frac{ \partial (F_{1}h_{2}h_{3})}{ \partial q_{1}}+\frac{ \partial (F_{2}h_{1}h_{3})}{ \partial q_{2}}+\frac{ \partial (F_{3}h_{1}h_{2})}{ \partial q_{3}} \right)dq_{1}dq_{2}dq_{3} \\ \frac{1}{dV}\times \implies &\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\left( \frac{ \partial (F_{1}h_{2}h_{3})}{ \partial q_{1}}+\frac{ \partial (F_{2}h_{1}h_{3})}{ \partial q_{2}}+\frac{ \partial (F_{3}h_{1}h_{2})}{ \partial q_{3}} \right) \end{align*} $$

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