초함수 컨볼루션 보조정리

초함수 컨볼루션 보조정리

distributional convolution lemma

정리1

$F$가 초함수, $\phi,\psi$가 테스트 함수라고 하자. 그러면 $F \ast \phi$는 실수 공간에서 정의된 함수이며 국소 적분 가능하다. 따라서 $F \ast \phi$에 대응되는 정칙 초함수 $T$가 다음과 같이 존재한다.

$$ T_{F \ast \phi}(\psi)=F(\tilde{\phi} \ast \psi) $$

여기서 $\tilde{\phi}(x)=\phi(-x)$이다.

설명

‘초함수 컨볼루션 보조정리’라는 이름은 위 내용에 딱히 붙여진 이름이 없어서 임의로 붙인 것이다.

증명

  • Case 1. $F$가 정칙 초함수일 경우

    $F$에 대응되는 $f \in L_{\mathrm{loc}}^{1}$가 존재한다.

    $$ F (\phi) = F_{f} (\phi) = \int f(x)\phi(x) dx $$

    따라서 다음의 식이 성립한다.

    $$ \begin{align*} T_{F \ast \phi}(\psi) &= \int (F*\phi)(x)\psi(x)dx \\ &=\int F(\tilde{\phi}_{x})\psi(x) dx \\ &= \int \int f(y)\tilde{\phi}(y-x)dy\psi(x)dx \\ &= \int f(y)\int\tilde{\phi}(y-x)\psi(x)dxdy \\ &= \int f(y)(\tilde{\phi} \ast \psi)(y)dy \\ &= F(\tilde{\phi} \ast \psi) \end{align*} $$

  • Case 2. $F$가 정칙 초함수가 아닐 경우

    $\tilde{\phi}, \psi \in C^{\infty}$이므로 $\tilde{\phi} \ast \psi$는 리만 적분가능하다. 그러면 아래와 같이 적분을 무한 급수로 근사할 수 있다.

    $$ \tilde{\phi} \ast \psi(y)= \int \tilde{\phi}(x-y)\psi(x)dy=\lim \limits_{n\to \infty} \sum \limits _{i=1} ^{n}\phi(x_i-y)\psi_ {x_{i}}\Delta x_{i} $$

    따라서 다음이 성립한다.

    $$ \begin{align*} F(\tilde{\phi} \ast \psi) &= F \left( \lim \limits_{n\to \infty} \sum \limits _{i=1} ^{n}\phi(x_i-\cdot)\psi_{x_{i}}\Delta x_ {i} \right) \\ &=\lim \limits_{n\to \infty} F \left( \sum \limits _{i=1} ^{n}\phi(x_i-\cdot)\psi_{x_{i}}\Delta x_{i} \right) \\ &=\lim \limits_{n\to \infty} \sum \limits _{i=1} ^{n}F \left( \phi(x_i-\cdot) \right)\psi_{x_{i}}\Delta x_{i} \\ &=\lim \limits_{n\to \infty} \sum \limits _{i=1} ^{n} (F \ast \phi)(x_{i}) \ast \psi_{x_{i}}\Delta x_{i} \\ &= \int F \ast \phi(x)\psi(x)dx \\ &=T_{F \ast \phi}(\psi) \end{align*} $$

    두번째 등호는 초함수의 연속성, 세번째 등호는 선형성에 의해 성립한다.


  1. Gerald B. Folland, Fourier Analysis and Its Applications (1992), p318 ↩︎

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