위상수학에서 디스크와 스피어

위상수학에서 디스크와 스피어

Disk and Sphere in Topology

정의 1

유클리드 공간 $\left( \mathbb{R}^{n} , \left\| \cdot \right\| \right)$ 에서 다음과 같은 도형들을 정의한다.

  1. 다음과 같이 정의된 $D^{n} \subset \mathbb{R}^{n}$ 를 $n$-유닛 디스크Unit Disk라 한다. $$ D^{n} := \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} : \left\| \mathbf{x} \right\| \le 1 \right\} $$
  2. 다음과 같이 정의된 $S^{n} \subset \mathbb{R}^{n+1}$ 를 $n$-유닛 스피어Unit Sphere라 한다. $$ S^{n} := \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n+1} : \left\| \mathbf{x} \right\| = 1 \right\} $$
  3. $D^{n} \setminus \partial D^{n}$ 과 호메오멀픽개집합 $e^{n}$ 을 $n$-Cell이라고도 한다.

성질

$n$-디스크의 바운더리는 $n$-스피어다. 다시 말해, 다음이 성립한다. $$ \partial D^{n} = S^{n-1} $$

설명

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디스크와 스피어는 $n=2$ 일 때 기준으로 봐야 이해하기가 편하다. 표현 상으로 $2$-디스크는 우리가 일상에서 접하는 디스크, 내부가 꽉 찬 원반 모양이 되고 $2$-스피어는 그보다 한 단계 높은 $2+1$차원에서 볼륨을 가지지 않고 면적을 가지는 구 그 자체만을 나타낸다.

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정의에서 $D^{3}$ 가 그러하듯, $D^{1}$ 은 디스크처럼 생기지는 않았지만 엄연히 디스크다. 한편 셀이라는 것은 보다시피 위상동형을 통해서 정의되기 때문에 딱히 디스크와 스피어처럼 집합으로 정확하게 정의될 필요가 없다.

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이는 셀이 모양과 크기, 위치 등에 자유롭다는 의미로 받아들여도 무방하고, 이렇게 셀을 생각함으로써 대중들에게 널리 알려진 위상수학의 모습이 드러나게 된다.

$n=0$ 일 때

$n = 0$ 일 때는 $D^{0} = \left\{ 0 \right\}$ 이고 $e^{n}$ 은 그에 호메오멀픽한 단 하나의 점으로 이루어져있지만, $S^{0}$ 은 곧 $\partial D^{1}$ 이므로 두 개의 점을 갖는다.

같이보기

일반적인 구의 정의

일반적인 구는 내적을 통해서 더 수학답게 정의할 수 있으며, 사실 일립소이드까지는 얼마든지 쉽게 일반화할 수 있다. 그러나 디스크와 스피어가 가장 많이 언급되는 것은 위상수학으로, 구체적인 좌표나 기하적인 성질이 딱히 필요 없다.


  1. Hatcher. (2002). Algebraic Topology: p xii. ↩︎

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