분리합집합: 서로소인 합집합

분리합집합: 서로소인 합집합

정의

서로소인 합집합, 분리합집합 $\left\{ X_\alpha \right\} _{\alpha\in A}$를 임의의 인덱스 패밀리라고 하자. 그러면 $\left\{ X_\alpha\right\}$의 분리합집합을 아래와 같이 정의한다. $$ \bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alpha := \left\{ (x,\alpha)\ |\ x\in X_\alpha,\ \alpha \in A \right\} $$

설명

$\bigsqcup$ 대신에 $\amalg$, $\biguplus$등을 쓰기도 한다. $\amalg$는 대문자 파이 $\Pi$가 아님에 주의하자. $\Pi$를 뒤집은 모양이다.

실제로는 다르지만 같아 보이는1 원소들을 구별할 수 있도록 어느 집합의 원소인지 정보를 추가하는 것이다. 예를 들어 1반 학생의 집합을 $x_{1}=\left\{ \right.$김철수, 김영희, 박수철, 이희영$\left. \right\}$, 2반 학생의 집합을 $x_{2}=\left\{ \right.$김철수, 김영희, 권현수, 최창식$\left. \right\}$이라고 하자. 그러면 1반의 김철수, 김영희와 2반의 김철수, 김영희는 분명히 다른 사람이지만 겉으로 보기에 같아 보인다. 따라서 그대로 합집합을 할 경우$\left\{\right.$김철수, 김영희, 박수철, 이희영, 권현수, 최창식$ \left. \right\} \ne x_{1} \cup x_{2}$와 같이 실제 합집합을 표현하지 못할 수 있다. 반면에 $x_{1}$, $x_{2}$의 분리 합집합을 구하면 $$ \bigsqcup \limits_{i=1,2} X_i =\left\{(\text{김철수},1), (\text{김영희},1), (\text{박수철},1), (\text{이희영},1), (\text{김철수},2), (\text{김영희},2), (\text{권현수},2), (\text{최창식},2) \right\} $$ 각자 어느 반인지 확실히 표시해서 서로 다른 두 원소가 같은 취급을 당하는 일이 없다.

위 개념을 잘 이해했다면 아래의 등식이 성립함을 알 수 있을 것이다. $$ \mathbb{R}^2 = \bigsqcup_{\alpha \in \mathbb{R}} \mathbb{R}_\alpha $$ 물론 실제로 쓸 때는 이런식으로 번거롭게 표기하지않고 겹치지 않게 합집합했다고 가정한다. 즉, 각각의 $\beta \in A$에 대해서 아래와 같은 자연스러운 매핑을 생각해서 $x \equiv (x,\beta)$로 취급한다. $$ \iota_\beta\ :\ X_\beta \hookrightarrow \bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alpha\quad by\ x \mapsto (x,\beta) $$ $X_\beta$와 $\iota_\beta(X_\beta)$를 같다고 보는 것이다.


  1. 혹은 이름이 같은 ↩︎

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