벡터공간에서 직합이란

벡터공간에서 직합이란

정의

벡터공간 $S$ 의 두 부분공간 $S_{1}$과 $S_{2}$ 에 대해 다음을 만족하면 $S$를 $S_{1}$과 $S_{2}$ 의 직합direct sum이라 하고, $S = S_{1} \oplus S_{2}$와 같이 표기한다.

(i) 존재성: 임의의 $\mathbf{s} \in S$ 에 대해 $\mathbf{s} = \mathbf{s}_{1} + \mathbf{s}_{2}$ 을 만족하는 $\mathbf{s}_{1} \in S_{1}$ 과 $\mathbf{s}_{2} \in S_{2}$ 가 존재한다.

(ii) 배타성: $S_{1} \cap S_{2} = \left\{ \mathbf{0} \right\}$

(iii) 유일성: 주어진 $\mathbf{s}$ 에 대해 $\mathbf{s} = \mathbf{s}_{1} + \mathbf{s}_{2}$ 을 만족하는 $\mathbf{s}_{1} \in S_{1}$ 과 $\mathbf{s}_{2} \in S_{2}$ 는 유일하다.

설명

정의만 봐서는 감을 잡기 어렵지만 유클리드 공간에서의 예시를 보면 상당히 상식적이고 편리한 개념임을 알 수 있을 것이다. 예를 들어 $\mathbb{R}^{3} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 을 생각해보면 $\mathbb{R}^{3}$ 의 원소는 $3$차원 벡터 $(x,y,z)$ 인데, 이를 $(x,y)$ 와 $(z)$ 로 분리해보자.

한편 분리한 걸 다시 합치는 과정을 생각해보면 $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ 이고 $(z) \in \mathbb{R}$ 이므로 이들의 단순 합집합 $\mathbb{R}^2 \cup \mathbb{R}$ 은 스칼라와 $2$차원 벡터들을 원소로 가지게 된다. 이러한 기호들만으로는 실제로 우리가 하고 싶은 공간의 확장과 분리를 표현하기 어렵다는 것을 알 수 있다. 따라서 직합이라는 개념을 도입하면 부분공간들이 벡터공간을 잘 나눌 때 여러모로 설명하기가 수월해질 것이다.

같이보기

댓글