벡터공간에서 직합이란 📂선형대수

벡터공간에서 직합이란

Direct sum of vector Space

정의

벡터공간 $V$ 의 두 부분공간 $W_{1}$과 $W_{2}$ 에 대해 다음을 만족하면 $V$를 $W_{1}$과 $W_{2}$ 의 직합direct sum이라 하고, $V = W_{1} \oplus W_{2}$와 같이 표기한다.

(i) 존재성: 임의의 $\mathbf{v} \in V$ 에 대해 $\mathbf{v} = \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2}$ 을 만족하는 $\mathbf{v}_{1} \in W_{1}$ 과 $\mathbf{v}_{2} \in W_{2}$ 가 존재한다.

(ii) 배타성: $W_{1} \cap W_{2} = \left\{ \mathbf{0} \right\}$

(iii) 유일성: 주어진 $\mathbf{v}$ 에 대해 $\mathbf{v} = \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2}$ 을 만족하는 $\mathbf{v}_{1} \in W_{1}$ 과 $\mathbf{v}_{2} \in W_{2}$ 는 유일하다.

일반화1

$W_{1}, W_{2}, \dots, W_{k}$를 벡터공간 $V$의 부분공간이라고 하자. 이 부분공간들이 다음의 조건을 만족할 때, $V$를 $W_{1}, \dots, W_{k}$들의 직합이라하고 $V = W_{1} \oplus \cdots \oplus W_{k}$와 같이 표기한다.

  • $\displaystyle V = \sum\limits_{i=1}^{k}W_{i}$

  • $\displaystyle W_{j} \bigcap \sum\limits_{i \ne j}W_{i} = \left\{ \mathbf{0} \right\} \text{ for each } j(1\le j \le k)$

이때 $\sum\limits_{i=1}^{k}W_{i}$는 $W_{i}$들의 이다.

설명

(i) 존재성: 이 조건은 $W = W_{1} + W_{2}$, 다시말해 "$W$가 $W_{1}$과 $W_{2}$의 합이다"로 바꿔적을 수 있다.

(iii) 유일성: 사실 이 조건은 없어도 된다. 조건 (ii) 에 의해 $\mathbf{v}_{1} \in W_{1}$이면, $\pm \mathbf{v}_{1} \notin W_{2}$이고, $W$의 영벡터 $\mathbf{0}$에 대해서 오직 다음의 표현만 존재한다.

$$ \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{0},\quad \mathbf{0}\in W_{1}, W_{2} $$

따라서 $\mathbf{v}$에 대해서 두 표현 $\mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2}$, $\mathbf{v}_{1}^{\prime} + \mathbf{v}_{2}^{\prime}$가 존재한다면,

$$ \mathbf{0} = \mathbf{v} - \mathbf{v} = (\mathbf{v}_{1} - \mathbf{v}_{1}^{\prime}) + (\mathbf{v}_{2} - \mathbf{v}_{2}^{\prime}) = \mathbf{0} + \mathbf{0} \implies \mathbf{v}_{1}=\mathbf{v}_{1}^{\prime},\ \mathbf{v}_{2}=\mathbf{v}_{2}^{\prime} $$

더 나아가 (i), (ii) $\iff$ (iii) 가 성립한다.

정의만 봐서는 감을 잡기 어렵지만 유클리드 공간에서의 예시를 보면 상당히 상식적이고 편리한 개념임을 알 수 있을 것이다. 예를 들어 $\mathbb{R}^{3} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 을 생각해보면 $\mathbb{R}^{3}$ 의 원소는 $3$차원 벡터 $(x,y,z)$ 인데, 이를 $(x,y)$ 와 $(z)$ 로 분리해보자.

한편 분리한 걸 다시 합치는 과정을 생각해보면 $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ 이고 $(z) \in \mathbb{R}$ 이므로 이들의 단순 합집합 $\mathbb{R}^2 \cup \mathbb{R}$ 은 스칼라와 $2$차원 벡터들을 원소로 가지게 된다. 이러한 기호들만으로는 실제로 우리가 하고 싶은 공간의 확장과 분리를 표현하기 어렵다는 것을 알 수 있다. 따라서 직합이라는 개념을 도입하면 부분공간들이 벡터공간을 잘 나눌 때 여러모로 설명하기가 수월해질 것이다.

같이보기


  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p275 ↩︎

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