디랙 델타 함수
dirac delta function
정의
아래의 두 조건을 만족하는 함수를 디랙델타함수라 한다.
$$ \delta (x) = \begin{cases} 0, & x\neq 0 \\ \infty , & x=0 \end{cases} $$
$$ \int_{-\infty}^{\infty}{\delta (x) dx}=1 $$
설명
※크로네커 델타와 헷갈리지 않게 주의가 필요하다.
공학에서는 단위 임펄스 함수$(\mathrm{unit\ impulse\ function})$이라 부른다. 정확하게 말하자면 수학적으로 디랙 델타 함수는 함수가 아니다. 0에서 무한대로 발산하기 때문인데, 그리피스 교재에서는 아래와 같이 설명돼있다.“델타 함수는 $x=0$에서 값이 한 없이 커지므로 기술적으로는 함수가 아니다. 수학 문헌에서는 일반화된 함수generalized function 또는 분포distribution라고 한다"위의 수식만 보고서는 델타 함수가 어떤 것인지 한 번에 이해하기는 어렵다. 아래의 그림을 보면 기하학적인 의미를 파악하는데 도움이 될 것이다.
조금 더 직관적으로 설명하면 아래와 같다. 높이가 $n$, 폭이 $\displaystyle \frac{1}{n}$인 직사각형 $R_n(x)$ 또는 높이가 $n$, 밑변이 $\displaystyle \frac{2}{n}$인 이등변삼각형 $T_n(x)$와 같은 함수열의 극한
델타 함수가 어떤 것인지 이해됐다면 델타 함수의 특징을 살펴보자. 함수 $f(x)$가 델타 함수가 아닌 일반적인 함수라면 $f(x)\delta (x)$의 값은 $x=0$을 제외한 모든 곳에서 $0$이다. ($\because$ $\delta (x)$가 $x=0$을 제외한 모든 곳에서 $0$이므로)즉, $x=0$에서만 값이 존재한다. 따라서 아래의 식이 성립한다.
$$ f(x)\delta (x) = f(0) \delta (x) $$
적분 꼴로 나타내면
$$ \displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta (x) dx = f(0) \int_{-\infty}^{\infty} \delta (x) dx = f(0)} $$
일반적인 경우를 나타내기 위해 델타 함수의 봉우리를 $x=0$에서 $x=a$로 옮기면 아래와 같다.
$$ \delta (x-a) = \begin{cases} 0, & x\neq a \\ \infty , & x=a \end{cases} $$
$$ \displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}{\delta (x-a) dx}=1 } $$
$$ f(x)\delta (x-a) = f(a) \delta (x-a) $$
$$ \displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta (x-a) dx = f(a)} $$
또한 3차원에서 델타 함수는 아래와 같다.
$$ \int f( \mathbf{r} ) \delta ^3 (\mathbf{r}-\mathbf{a}) d\tau = f(\mathbf{a}) $$
이 때,
$$ \int \delta ^3 (\mathbf{r} ) d\tau =1 $$
$$ \delta ^3 (\mathbf{r})=\delta(\mathbf{x}) \delta(\mathbf{y}) \delta(\mathbf{z}) $$