초함수로 엄밀하게 정의되는 디랙 델타 함수

초함수로 엄밀하게 정의되는 디랙 델타 함수

정의1

테스트 함수 공간 $\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})$의 범함수 $\delta_{a} : \mathcal{D} \to \mathbb{C}$를 아래와 같이 정의하고 디랙 델타 함수라 부르자.

$$ \delta_{a}(\phi):=\phi(a) $$

그러면 디랙 델타 함수는 초함수가 된다. $a=0$이면 다음과 같이 간단히 나타낸다.

$$ \delta=\delta_{0} $$

설명

발산하는 값을 가지고 있어 함수가 아니지만 대충 함수라고 두고 썼던 디랙 델타 함수가 위의 정의에 의해 엄밀하게 정의되었다.

$$ \delta_{a} (\phi) = \int \delta(x-a)\phi(x)dx=\phi(a) $$

다만 국소 적분 가능함수로 정의될 수 없기 때문정칙 초함수는 아니다. 기존의 디랙 델타 함수와의 혼동을 막고자 초함수로서의 델타 함수는 델타 초함수라고 부르겠다.

증명

$\delta_{a}$가 선형이고 연속이므로 초함수이다.


  1. Gerald B. Folland, Fourier Analysis and Its Applications (1992), p307 ↩︎

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