1차원 파동 방정식 유도

1차원 파동 방정식 유도

개요

1차원 파동 방정식wave equation은 아래와 같다.

$$ \dfrac{\partial ^{2} f }{\partial x^{2}} = \dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial ^{2} f}{\partial t^{2}} $$

이때 $v$는 파동의 전파 속력이다.

파동의 특징

1.JPG

위 그림 1과 같이 속력이 $v$로 일정한 파동이 있다고 하자. 시각 $t$에서 $x$점의 파동의 변위를 $f(x,t)$라고 하자. 처음 실의 변위를 $g(x)=f(x,0)$라고 할 때 그로부터 $t$초 후의 실의 변위가 어떻게 되는지 알고자 한다. 속력이 $v$이므로 $vt$만큼 평행이동한 것과 같고 이는 그림 2에 나타나있다. 따라서

$$ f(x,t)=f(x-vt,0)=g(x-vt) $$

위 식은 파동 함수는 두 변수 $x,\ t$가 결합된 $x-vt$만의 함수라는 것을 말해준다. 따라서 $f_1$, $f_2$, $f_3$은 파동을 나타내지만 $f_4$, $f_5$는 파동을 나타내지 않는다.

$$ f_1=Ae^{-(x-vt)^{2}}, \quad f_2=A\sin\big( 2(x-vt) \big),\quad f_3=\dfrac{A}{(x-vt)^{2}-1} \\ f_4=Ae^{x(x-vt)},\quad f_5=A\cos(x) \cos(xvt) $$

유도

2.JPG

팽팽하게 당긴 줄의 운동을 살펴봄으로써 1차원에서의 파동 방정식을 이끌어 낼 수 있다. 줄이 평형 위치에서 벗어났을 때 $\Delta x$ 길이 만큼의 토막이 수직 방향으로 받는 힘을 장력 $T$로 나타내면

$$ \Delta F=T\sin \theta^{\prime} - T\sin \theta $$

$\theta$가 충분히 작을 때 $\sin \theta \approx \tan \theta$이므로 위 식을 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$ \Delta F \approx T(\tan \theta^{\prime} -\tan \theta) $$

$\tan$는 기울기(미분)와 같으므로

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \Delta F \approx&\ T(\tan \theta^{\prime} -\tan \theta) \\ =&\ T \big[ f^{\prime}(x+\Delta x) -f^{\prime}(x) \big] \\ \approx&\ T\dfrac{\partial ^{2} f}{\partial x^{2}}\Delta x \quad \end{aligned} \end{equation} $$

줄의 단위길이당 질량을 $\mu$라고 하자. 그러면 뉴턴의 제 2법칙$(F=ma)$에 의해

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \Delta F =&\ m\Delta a \\ =&\ m \dfrac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} \\ =&\ \mu \Delta x \dfrac{\partial ^{2} f}{\partial t^{2}} \quad \end{aligned} \end{equation} $$

$(1)$과 $(2)$의해

$$ \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\dfrac{\mu}{T} \dfrac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} $$

$\sqrt{\frac{T}{\mu}}=v$라고 두면

$$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} $$

위 식을 파동 방정식이라 한다. 위 방정식의 해는 전부 아래의 모양과 같다.

$$ f(x,t)=g(x-vt) $$

이러한 함수는 속력 $v$로 전파하는 파동이라는 것을 위에서 얘기했다. 따라서 $\sqrt{\frac{T}{\mu}}=v$라고 하는 것은 자연스러우며 실제 전파 속력을 의미한다.

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