추상대수학에서의 정이면체군

추상대수학에서의 정이면체군

정의 1

대칭군의 부분군 $D_{n} \leqslant S_{n}$ 을 $n$각형에 대해 회전, 반전하는 순열만을 가지는 군으로 정의하고 정이면체군Dihedral Group이라 부른다.

설명

도형에서 유도되기 때문에 말만으로는 설명하기 어렵다.

$D_{3} = S_{3}$

가장 작은 정이면체군의 예시로써 대칭군 $D_{3} = S_{3}$ 이 있다.

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$| D_{n} | =2n$

이러한 순열은 $n$각형에 대해 $2n$ 개 존재함을 어렵지 않게 짐작할 수 있을 것이다. 예로써 사각형을 기반으로 만든 $D_{4}$ 는 원소가 $8$ 개라서 팔원군Octic Group이라는 별명으로도 불린다.

20180207\_004238.png

위 그림에서 나타나는 것과 같이 $D_{4}$ 의 원소는 $\mu_{1}, \mu_{2}, \delta_{1}, \delta_{2}$ 와 회전 $\rho_{0} , \rho_{1} , \rho_{2} , \rho_{3}$ 이 있다.


  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p79. ↩︎

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