미분 연산자

미분 연산자


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미분 방정식을 푸는 여러 방법 중 하나는 미분 연산자를 이용하여 푸는 것이다. 미분 연산자 $D$를 아래와 같이 정의하자.

$$ D:= \frac{d}{dx} $$ 미분하는 변수를 확실히 표현할 때는 $D_{x}$와 같이 표기하기도 한다. 편미분에 대해서는 아래와 같이 나타낸다. $$ \partial _{x}:=\frac{ \partial }{ \partial x},\quad \partial_{y}=\frac{ \partial }{ \partial y} $$

미분 연산자를 사용하면 미분 방정식은 아래와 같이 표현된다. $$ \begin{align*} y^{\prime \prime}+4y^{\prime}-y=0 && \implies&& D^{2}y+4Dy-y=0 \\ && && (D^{2}+4D-1)y=0 \end{align*} $$ 여기에서 $y=0$인 해는 물리적으로 의미가 없다. 따라서 미분 방정식의 풀이가 $Dy=ry$를 만족하는 상수 $r$에 대한 2차 방정식 $$ r^{2}+4r-1=0 $$ 을 푸는 것으로 바뀐다. $Dy=ry$를 푸는 것은 고유값 문제이므로 사실상 고유값 문제를 풀면 미분 방정식을 푼 것과 다름 없다. 미분 연산자는 미분이 포함되어있으므로 연산 순서에 특히나 신경써야한다. 예를 들어 $D$와 $x$는 교환되지 않아 $Dx\ne xD$이다. $y$를 $x$에 관한 함수라고 할 때 $$ Dxy=D(xy)=\frac{ d }{ d x }(xy)=y+xy^{\prime}=y+xDy=(xD+1)y $$ 이므로 $$ Dx=xD+1 $$ 이다. 미분 연산자에 대해서 아래와 같은 유용한 성질이 있다.

$$ \leqalignno {D(D+x) &= D^{2}+xD+1 &(a) \\ (D-a)(D-b)=(D-b)(D-a) &= D^{2}-(a+b)D+ab & (b) \\ (D+1)(D^{2}-D+1) &= D^{3}+1 & (c) \\ Dx &= xD+1 & (d) \\ (D-x)(D+x)&=D^{2}-x^{2}+1 & (e) \\ (D+x)(D-x) &= D^{2}-x^{2}-1 & (f)} $$

증명 방법이 같으므로 몇 가지 증명 과정은 생략한다.

증명 $(a)$

$$ \begin{align*} D(D+x)y &= D(y^{\prime}+xy) \\ &= y^{\prime \prime}+y+xy^{\prime} \\ &= D^{2}y+xDy+y \\ &= (D^{2}+xD+1)y \end{align*} $$ 따라서 $$ D(D+x) = D^{2}+xD+1 $$

증명 $(b)$

$$ \begin{align*} (D-a)(D-b)y &=(D-a)(y^{\prime}-by) \\ &= y^{\prime \prime}-ay^{\prime}-by^{\prime}+aby \\ &= D^{2}y-(a+b)Dy+aby \\ &=[D^{2}-(a+b)D+ab]y \\ &=[D^{2}-(b+a)D+ba]y \\ &=(D-b)(D-a)y \end{align*} $$ 따라서 $$ (D-a)(D-b)=(D-b)(D-a) = D^{2}-(a+b)D+ab $$

증명 $(e)$

$$ \begin{align*} (D-x)(D+x)y &= (D-x)(y^{\prime}+xy) \\ &= y^{\prime \prime} -xy^{\prime} +y+xy^{\prime}-x^{2}y \\ &= D^{2}y+(1-x^{2})y \\ &= (D^{2}-x^{2}+1)y \end{align*} $$ 따라서 $$ (D-x)(D+x)=D^{2}-x^{2}+1 $$

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