k차 미분 형식

k차 미분 형식

Differential Form of Degree k

개요

2차 미분형식을 정의했던 방식 그대로 일반화하여, 미분다양체 $M$에 대한 $k$차 형식을 정의한다.

미분다양체가 어렵다면 $M = \mathbb{R}^{n}$이라고 생각해도 좋다.

빌드업1

$M$을 $n$차원 미분다양체라고 하자. $p \in M$는 $M$의 점이고, $T_{p}M$은 점 $p$에서 $M$의 탄젠트 공간이다. $T_{p}^{\ast}M$은 탄젠트 공간의 듀얼 스페이스코탄젠트 공간이다. $\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$을 다음과 같이 다중선형교대함수들의 집합으로 정의하자.

$$ \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M) := \left\{ \varphi : \underbrace{T_{p}M \times \cdots \times T_{p}M}_{k \text{ times}} \to \mathbb{R}\ | \ \varphi \text{ is k-linear alternating map} \right\} $$

$\varphi_{1}, \dots, \varphi_{k} \in T_{p}^{\ast}M$에 대해서 쐐기곱 $\wedge$를 다음과 같이 정의하면 $(\varphi_{1} \wedge \varphi_{2} \wedge \cdots \wedge \varphi_{k})$는 $\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$의 원소가 된다.

$$ (\varphi_{1} \wedge \varphi_{2} \wedge \cdots \wedge \varphi_{k})(v_{1}, v_{2}, \dots, v_{k}) = \det \left[ \varphi_{i}(v_{j}) \right],\quad i,j=1,\dots,k $$

이제 편의를 위해 다음과 같이 표기하자.

$$ (dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}})_{p} \overset{\text{notation}}{=} (dx_{i_{1}})_{p} \wedge (dx_{i_{2}})_{p} \wedge \cdots \wedge (dx_{i_{k}})_{p} \in \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M) $$

이때 $i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k} = 1, \dots, n$이다. 그러면 $\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$은 벡터공간이 된다.

정리

아래의 집합

$$ \mathcal{B} = \left\{ (dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}})_{p} : i_{1} \lt i_{2} \lt \cdots \lt i_{k},\ i_{j}\in \left\{ 1,\dots,n \right\} \right\} $$

는 $\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$의 기저이다.

증명

기저의 정의에 의해 $\mathcal{B}$가 선형 독립이고, $\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$을 생성함을 보이면 된다. 표기법의 편의를 위해 $M$의 탄젠트 공간 $T_{p}M$의 기저를 다음과 같이 나타내자.

$$ \left\{ e_{i} \right\} = \left\{ \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right\} $$ ​

  • Part 1. 선형 독립

    다음 식의 해는 $a_{i_{1}\dots i_{k}}$들이 모두 $0$인 것 뿐임을 보이면 된다.

    $$ \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1}\dots i_{k}}dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}} = 0 $$

    여기에

    $$ \left(e_{j_{1}}, \dots, e_{j_{k}} \right),\quad j_{1}\lt \cdots \lt j_{k},\ j_{\ell} \in \left\{ 1,\dots, n \right\} $$

    를 대입해보자.

    $$ \begin{align*} 0 =&\ \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1}\dots i_{k}}dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}\left(e_{j_{1}}, \dots, e_{j_{k}} \right) \\[1em] =&\ \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1}\dots i_{k}} \begin{vmatrix} dx_{i_{1}}(e_{j_{1}}) & dx_{i_{1}}(e_{j_{2}}) & \cdots & dx_{i_{1}}(e_{j_{k}}) \\[1em] dx_{i_{2}}(e_{j_{1}}) & dx_{i_{2}}(e_{j_{2}}) & \cdots & dx_{i_{2}}(e_{j_{k}}) \\[1em] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1em] dx_{i_{k}}(e_{j_{1}}) & dx_{i_{k}}(e_{j_{2}}) & \cdots & dx_{i_{k}}(e_{j_{k}}) \end{vmatrix} \end{align*} $$

    여기서 행렬식의 첫번째 열을 보자. 이 열에 $0$이 아닌 성분이 하나라도 있으려면 $j_{1} \in \left\{ i_{1}, \dots i_{k} \right\}$여야 한다. 이 조건을 그 다음 열에 차례로 적용하면 다음의 결과를 얻는다.

    $$ j_{1}, \dots, j_{k} \in \left\{ i_{1}, \dots i_{k} \right\} $$

    그런데 $i$ 인덱스와 $j$ 인덱스 모두 $i_{1}\lt \cdots \lt i_{k}$, $j_{1}\lt \cdots \lt j_{k}$라는 조건이 있으므로, $i_{\ell} = j_{\ell}$이다.

    $$ 0 = a_{j_{1}\dots j_{k}} $$

    같은 논리로 모든 계수 $a$가 $0$이어야 함을 알 수 있다.

  • Part 2. 생성

    만약 $f \in \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$일 때, $f$가 $\mathcal{B}$의 선형결합으로 표현되어 다음의 식이 성립함을 보이면 된다.

    $$ f = \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1} \dots i_{k}} dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}} $$

    $g$를 다음과 같이 정의하자.

    $$ g = \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } f(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}} $$

    그러면 $g$가 곧 $f$임을 알 수 있다. 양변에 $(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}})$를 대입하면

    $$ \begin{align*} g(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) =&\ \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } f(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) \\ =&\ f(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) \end{align*} $$

    따라서 $f(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) = a_{i_{1} \dots i_{k}}$라고 하면,

    $$ f = g = \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1} \dots i_{k}} dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}} $$

정의

점 $p \in M$을 다음과 같이 매핑하는 함수 $\omega : M \to \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$를 $M$에서의 k차 형식exterior k-form 이라 정의한다.

$$ \omega(p) = \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1}\dots i_{k}}(p)(dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}})_{p},\quad i_{j} \in \left\{ 1, \dots, n \right\} $$

$$ \omega = \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1}\dots i_{k}}dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}} $$

이때 $a_{i_{1}\dots i_{k}} : M \to \mathbb{R}$이다. 각각의 $a_{i_{1}\dots i_{k}}$가 미분가능하면, $\omega$를 k차 미분 형식differential k-form이라 한다. 또한 편의를 위해 $I = (i_{1},\dots,i_{k})$라고 하고 다음과 같이 표기한다.

$$ \omega = \sum \limits_{I} a_{I}dx_{I} $$

설명

정의에 의해 $n$차원 다양체에서는 최대 $n$차 형식까지 존재한다. 또한 $n$차원 다양체에서의 $k$차 형식은 $\binom{n}{k}$개의 항을 갖는다. 따라서 $\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$은 $\binom{n}{k}$차원 벡터공간이다. 참고로 미분다양체 $M$위의 $0$-형식은 $M$ 위에서 정의된 함수 $f : M \to \mathbb{R}$로 정의한다.

예로 $\mathbb{R}^{3}$에서는 3차 형식까지 존재한다.

  • 0차 형식: $\mathbb{R}^{3}$ 위의 함수
  • 1차 형식: $a_{1}dx_{1} + a_{2}dx_{2} + a_{3}dx_{3}$
  • 2차 형식: $a_{12}dx_{1}\wedge dx_{2} + a_{13}dx_{1}\wedge dx_{3} + a_{23} dx_{2} \wedge dx_{3}$
  • 3차 형식: $a_{123}dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3}$

같이보기


  1. Manfredo P. Do Carmo, Differential Forms and Applications, p2-4 ↩︎

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