미분가능한 다양체

미분가능한 다양체

정의1

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$M$을 임의의 집합, $U_{\alpha} \subset \mathbb{R}^{n}$을 열린 집합이라고 하자. $1-1$함수 $\mathbf{x}_{\alpha} : U_{\alpha} \to M$에 대해서 다음의 조건을 만족하는 순서쌍 $\left( M, \left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\}_{\alpha\in \mathscr{A}} \right)$ 혹은 간단히 $M$을 $n$차원의 미분가능한 다양체differentiable manifold of dimension $n$라고 정의한다.

  1. $\bigcup \limits_{\alpha} \mathbf{x}_{\alpha} \left( U_{\alpha} \right) = M$
  2. $\varnothing \ne W = \mathbf{x}_{\alpha}\left( U_{\alpha} \right) \cap \mathbf{x}_{\beta}\left( U_{\beta} \right)$에 대해서, 사상 $\mathbf{x}_{\beta}^{-1} \circ \mathbf{x}_{\alpha} : \mathbf{x}_{\alpha}^{-1}(W) \to \mathbf{x}_{\beta}^{-1}(W)$가 미분가능하다.
  3. 조건 1, 2를 만족하는 가능한 모든 $\alpha$에 대해서 인덱스 패밀리 $\left\{ \left( U_{\alpha}, \mathbf{x}_{\alpha} \right) \right\}$를 구성한다.

설명

  1. $M$은 완전히 임의의 집합으로 주어지기 때문에(즉 일반적으로 거리공간이 아니기 때문에) $\mathbf{x}_{\alpha}$가 미분가능한지 아닌지에 대한 논의를 할 수가 없다. 또한 $M$은 여러 이미지들의 합집합이기 때문에 각각의 교집합 $W = \mathbf{x}_{\alpha}\left( U_{\alpha} \right) \cap \mathbf{x}_{\beta}\left( U_{\beta} \right)$에서 적당히 좋은 조건이 필요한데, 여기에서는 이를 미분가능하다는 조건으로 준 것이다.

    한편 사상 $\mathbf{x}_{\beta}^{-1} \circ \mathbf{x}_{\alpha}$의 조건에 따라서 다양체가 여러 이름으로 불리게 된다. 가령 미분대신 연속이라는 조건이 주어지면 $M$은 위상 다양체topological manifold가 된다. 홀로모픽이라는 조건이 주어지면 $M$은 복소 다양체complex manifold가 된다. 또한 $\mathbf{x}_{\beta}^{-1} \circ \mathbf{x}_{\alpha} \in C^{k}$이면 $M$은 $C^{k}$ 다양체라고 불린다. 미분기하학에서는 미분이라는 도구로 기하학을 설명하고 싶기 때문에 미분가능한 다양체를 다루게 된다.

  2. 이는 어디까지나 테크니컬한 부분이며, 두 미분가능한 구조가 같냐, 다르냐 등의 얘기를 피하기 위해서 존재하는 조건이다. 1과 2를 만족하는 그러한 것들을 모두 모아놨다고 가정할거니까 ‘이런건 어때?’ 와 같은 태클을 걸지 말라는 뜻이다.

예시

유클리드 공간 $\mathbb{R}^{n}$

$$ \mathbb{R}^{n} = \left\{ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) : x_{i} \in \mathbb{R} \right\} $$

다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 닮은 공간으로 설명되기도 하기때문에 $\mathbb{R}^{n}$이 미분가능한 다양체인 것은 당연하다면 당연한 사실이다. ${\rm id}$를 항등 작용소라고 하자.

  1. 미분가능한 구조를 $\left\{ \left( U_{\alpha}, {\rm id} \right) | U_{\alpha} \subset \mathbb{R}^{n} \text{ is open.} \right\}$와 같이 두면 성립한다.

  2. 항등 작용소는 미분 가능하므로 성립한다.

  3. 이러한 모든 순서쌍에 대해서 인덱스 패밀리 $\left\{ \left( U_{\alpha}, {\rm id} \right)\right\}$를 구성한다.

그러면 $\left( \mathbb{R}^{n}, \left\{ {\rm id} \right\} \right)$은 미분가능한 다양체이다.

2차원 구면 $\mathbb{S}^{2}$

$$ \mathbb{S}^{2} = \left\{ p \in \mathbb{R}^{3} : \left\| p \right\|=1 \right\} $$

2차원 구면은 다음과 같이 6개의 좌표조각으로 표현할 수 있다. $(u,v) \in U = \left\{ (u,v) : u^{2} + v^{2} \lt 1 \right\}$에 대해서,

좌표조각 정의
$\mathbf{x}_{1} = \mathbf{x}_{(0,0,1)} : U \to \R^{3}$ $\mathbf{x}_{(0,0,1)}(u, v) = \left( u, v , \sqrt{1- u^{2} -v^{2} } \right)$ $\mathbf{x}_{(0,0,1)}^{-1}(x, y, z) = (x,y)$
$\mathbf{x}_{2} = \mathbf{x}_{(0,0,-1)} : U \to \R^{3}$ $\mathbf{x}_{(0,0,-1)}(u, v) = \left( u, v , -\sqrt{1- u^{2} -v^{2} } \right)$ $\mathbf{x}_{(0,0,-1)}^{-1}(x, y, z) = (x,y)$
$\mathbf{x}_{3} = \mathbf{x}_{(0,1,0)} : U \to \R^{3}$ $\mathbf{x}_{(0,1,0)}(u, v) = \left( u, \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, v \right)$ $\mathbf{x}_{(0,1,0)}^{-1}(x, y, z) = (x,z)$
$\mathbf{x}_{4} = \mathbf{x}_{(0,-1,0)} : U \to \R^{3}$ $\mathbf{x}_{(0,-1,0)}(u, v) = \left( u, -\sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, v \right)$ $\mathbf{x}_{(0,-1,0)}^{-1}(x, y, z) = (x,z)$
$\mathbf{x}_{5} = \mathbf{x}_{(1,0,0)} : U \to \R^{3}$ $\mathbf{x}_{(1,0,0)}(u, v) = \left( \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right)$ $\mathbf{x}_{(1,0,0)}^{-1}(x, y, z) = (y,z)$
$\mathbf{x}_{6} = \mathbf{x}_{(-1,0,0)} : U \to \R^{3}$ $\mathbf{x}_{(-1,0,0)}(u, v) = \left( -\sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right)$ $\mathbf{x}_{(-1,0,0)}^{-1}(x, y, z) = (y,z)$
  1. $\bigcup \limits_{i=1}^6 \mathbf{x}_{i} = \mathbb{S}^{2}$가 성립한다.

  2. $\mathbf{x}_{(0,0,1)}^{-1} \circ \mathbf{x}_{(1,0,0)}$는 다음과 같으므로 미분 가능하다.

$$\mathbf{x}_{(0,0,1)}^{-1} \circ \mathbf{x}_{(1,0,0)}(u,v) = \mathbf{x}_{(0,0,1)}^{-1} \left( \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right) = \left( \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u \right) \in C^{\infty}$$

  1. 이러한 방식으로 1,2를 만족하는 가능한 모든 순서쌍을 모아 인덱스 패밀리 $\left\{ \left( U_{\alpha}, \mathbf{x}_{\alpha} \right) \right\}$를 구성한다.

그러면 $\left( \mathbb{S}^{2} , \left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\} \right)$는 미분가능한 다양체이다.

사영공간 $\mathbb{P}^{n}$


  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p2-3 ↩︎

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