미분 다양체 위에서 미분 다양체로의 미분가능한 함수

미분 다양체 위에서 미분 다양체로의 미분가능한 함수

정의1

$M_{1}, M_{2}$를 각각 $n, m$차원 미분 다양체라고 하자. 매핑 $\varphi : M_{1} \to M_{2}$가 다음의 조건을 만족하면 $p \in M_{1}$에서 미분가능differentiable at $p$하다고 정의한다.

  1. $\varphi(p)$에서 좌표계 $\mathbf{y} : V \subset \mathbb{R}^{m} \to M_{2}$가 주어질 때 마다, $p$에서 좌표계 $\mathbf{x} : U \subset \mathbb{R}^{n} \to M_{1}$이 존재해서 $\varphi\left( \mathbf{x}(U) \right) \subset \mathbf{y}(V)$가 성립한다.

  2. 매핑 $\mathbf{y}^{-1} \circ \varphi \circ \mathbf{x} : U \subset \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$가 $\mathbf{x}^{-1}(p)$에서 미분가능하다.

설명

미분가능한 다양체를 정의할 때처럼 좌표계 $\mathbf{x}, \mathbf{y}$를 통해 미분을 정의한다.

조건 1.은 어려워보여도 잘 읽어보면 $\epsilon -\delta$ 논법의 정의위상수학에서 연속을 정의하는 센스와 정확히 일치한다.

조건 2.의 $\mathbf{y}^{-1} \circ \varphi \circ \mathbf{x}$는 유클리드 공간에서 유클리드 공간으로 가는 함수이므로 클래식한 센스에서 미분가능하다. 이 매핑을 좌표계 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$에서 $\varphi$의 expression이라 한다.


  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p5-6 ↩︎

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