거리공간에서 집합의 지름

거리공간에서 집합의 지름

diam eter of set in metric space

정의

$E$를 거리공간 $(X,d)$의 부분집합이라고 하자. 그리고 $S$를 다음과 같다고 하자.

$$ S=\left\{ d(p,q) : \forall p, q \in E\right\} $$

그러면 $S$의 최소 상계 $\sup S$를 $E$의 지름이라고 부르고 $\text{diam } E$로 표기한다.

설명

$\left\{ p_{n} \right\}$이 거리공간 $X$에서의 수열, $E_{N}=\left\{ p_{N},p_{N+1},p_{N+2},\cdots \right\}$라고 하자. 그러면 코시 수열과 지름의 정의에 의해 $\left\{ p_{n} \right\}$이 코시수열인 것은 $$ \lim \limits_{N\to\infty} \text{diam } E_{N}=0 $$ 인 것과 동치이다.

정리

(a) $E$가 거리공간 $X$의 부분집합이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ \text{diam } \overline{E} = \text{diam } E $$

이때 $\overline{E}$는 $E$의 폐포이다.

(b) $\left\{ K_{n} \right\}$이 거리공간에서 컴팩트 집합의 수열이라고 하자. $K_{n}\supset K_{n+1}$이고

$$ \begin{equation} \lim \limits_{n\to\infty} \text{diam }K_{n}=0 \label{(b)} \end{equation} $$

이면, $\bigcap _{n=1}^{\infty}K_{n}$은 정확하게 한 점만을 갖는다.

증명

(a)

$E \subset \overline{E}$이므로 다음이 성립함은 자명하다.

$$ \text{diam }E \le \text{diam }\overline{E} $$

임의의 양수 $\varepsilon >0$가 주어졌다고 하자. 그리고 두 점 $p,q\in \overline{E}$를 택하자. 클로저와 집적점의 정의에 의해

$$ d(p,p’)< \varepsilon \quad \text{and} \quad d(q,q’)<\varepsilon $$

를 만족하는 $p’,q’\in \overline{E}$가 존재한다. 따라서 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} d(p,q) &\le d(p,p’) +d(p’,q’)+d(q’,q) \\ &\le 2\varepsilon+ d(p’,q’) \\ &\le 2\varepsilon+\text{diam }E \end{align*} $$

이는 어떤 $p,q \in \overline{E}$에 대해서도 성립하므로 다음이 성립한다.

$$ \text{diam }\overline{E} \le 2\varepsilon + \text{diam }E $$

이때 $\varepsilon$은 임의의 양수이므로 아래의 식이 성립한다.

$$ \text{diam }\overline{E} \le \text{diam }E $$

그러므로 $\text{diam }\overline{E}=\text{diam }E$이다.

(b)

$K=\bigcap _{n=1}^{\infty}K_{n}$이라고 하자. 그러면 $K$는 공집합이 아니다. 만약 $K$가 두 점 이상을 갖는다면 $\text{diam } K >0$이다. 하지만 각각의 $n$에 대해서 $K_{n} \supset K$이므로 다음이 성립한다.

$$ \text{diam }K_{n}\ge \text{diam }K $$

이는 $\eqref{(b)}$에 대해서 모순이므로 $K$가 두 점 이상을 갖는다는 사실이 틀렸다. 따라서 $K$는 공집합은 아니면서 두 점이상은 갖지 않으므로 정확하게 한 점만을 갖는다.

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