외부 자기장에 의한 전자 궤도의 변화와 반자성

외부 자기장에 의한 전자 궤도의 변화와 반자성


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33.JPG 핵 주위를 반지름 $R$로 공전하고 있는 전자가 있다고 하자. 움직이는 점전하는 정상전류가 되지 않지만 그 속도가 너무 빠르기 때문에 정상전류처럼 보인다 . 주기는 이동거리를 속도로 나눈 것이므로 $$ T=\dfrac{2\pi R}{v} $$ 전류는 단위시간당 지나가는 전하량이고 전자는 궤도 위의 어느 한 점을 한 주기에 한 번 지나가므로 $$ I=\dfrac{-e}{T}=-\dfrac{ev}{2 \pi R} $$ 따라서 이 전자 궤도의 자기 쌍극자 모멘트는 $$ \mathbf{m}=I\pi R^2=-\dfrac{1}{2}evR \hat{\mathbf{z}} $$ 이때 외부 자기장 $\mathbf{B}$가 있으면 회전력을 받지만 궤도를 기울이는 것은 매우 힘들기 때문에 전자의 궤도운동에 의한 자기 쌍극자는 상자성에 크게 기여하지 못한다. 여기에서 중요하게 나타나는 효과는 외부 자기장의 방향에 따라 전자의 속도가 변한다 는 것이다.전자가 점 $P$에 있을 때 받는 힘의 운동방정식을 생각해보자. $Q$을 제외한 모든 점에서 받는 전기력은 서로 상쇄되므로 점 $Q$에서 받는 전기력만 생각하면 된다. 그리고 원운동하는 물체가 받는 구심력은 질량*속도$^2$*반지름$^{-1}$이다. 두 힘의 방향은 원의 중심을 향하므로 간단하게 크기만 표현하면 $$ \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{e^2}{R^2}=m_e\dfrac{v^2}{R} $$ 이때 $m_e$는 전자의 질량이고 쌍극자 모멘트 $m$과 헷갈리지 말자. 외부 자기장이 있다면 좌변에 자기력에 대한 항 $-e(\mathbf{v} \times \mathbf{B} )$가 추가된다. 이 힘의 방향도 원의 중심을 향하도록 하기 위해 아래 그림처럼 외부 자기장이 전자의 운동 궤도면과 수직하다고 가정하자.34.JPG 자기장에 의한 항까지 넣은 운동 방정식은 $$ \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \dfrac{e^2}{R^2}+e\bar{v}B=m_e\dfrac{{\bar{v}}^2}{R} $$ 자기력에 관한 항이 없이 나타낸 운동방정식을 위의 식에 대입하면 $$ m_e\dfrac{v^2}{R}+e\bar{v}B=m_e\dfrac{{\bar{v}}^2}{R} \\ {} \\ \implies e\bar{v}B=\dfrac{m_e}R({\bar{v}}^2-v^2)=\dfrac{m_e}{R}(\bar{v}+v)(\bar{v}-v) $$ 속력의 변화량을 $\Delta v=\bar{v}-v$라 하자. 변화량이 작다면 $\bar{v} \approx v$ 이므로 위의 식은 $$ evB=\dfrac{2vm_e}{R}\Delta v \\ \implies \Delta v = \dfrac{eRB}{2m_e} $$ 글 상단에서 전자 궤도의 쌍극자 모멘트 $\mathbf{m}$을 속도에 관한 식으로 나타냈다. 따라서 속도가 변하면 쌍극자 모멘트도 변하고 그 변화량은 $$ \Delta \mathbf{m} = -\dfrac{1}{2}e ( \Delta v)R\hat{\mathbf{z}}=-\dfrac{e^2R^2}{4m_e}\mathbf{B} $$ 쌍극자 모멘트 $\mathbf{m}$의 변화가 외부 자기장 $\mathbf{B}$의 방향과 반대 라는 중요한 사실을 알 수 있다. 즉 반자성 $(\mathrm{diamagnetism})$ 이 생기는 것이다. 이는 모든 원자에서 일어나는 일반적인 현상이지만 상자성 에 비해 효과가 훨씬 약하므로 전자의 수가 짝수라 상자성이 나타나지 않는 원자에서만 관찰된다.

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