대각행렬, 삼각 행렬

대각행렬, 삼각 행렬

대각행렬1

$A$를 크기가 $n\times n$인 정사각행렬이라고 하자. 행과 열의 번호가 같은 성분, 즉 $a_{11}$, $a_{22}$, $\dots$, $a_{nn}$들을 주대각성분main diagonal elements이라 한다. 주 대각 성분들을 이은 가상의 선을 주대각선main diagonal, principal diagonal 이라 한다. 주 대각 성분 $a_{11}$, $a_{22}$, $\dots$, $a_{nn}$을 제외한 모든 성분이 $0$이면 행렬 $A$를 대각행렬diagonal matrix 이라고 한다.


$$ A=\begin{bmatrix} \color{red}{a_{11}} & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{a_{22}} & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{a_{33}} \end{bmatrix} \quad A=\begin{bmatrix} \color{red}{a_{11}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{a_{22}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{a_{33}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{a_{44}} & 0 \end{bmatrix} $$

물론 위의 예시에서 보이듯이 꼭 정사각행렬이 아니어도 주대각성분, 대각행렬을 정의할 수 있다.

성질

$A$를 크기가 $n\times n$인 대각행렬이라고 하자. 그러면 $A$의 거듭제곱은 다음과 같다.

$$ A^{m}=\begin{bmatrix} (a_{11})^{m} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & (a_{22})^{m} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & (a_{nn})^{m} \end{bmatrix} $$

삼각행렬

주 대각선 위의 성분이 모두 $0$인 정사각행렬을 하삼각행렬lower triangular이라 하고, 주 대각선 아래의 성분이 모두 $0$인 정사각행렬을 상삼각행렬upper triangular이라 한다. 정의에 의해 대각행렬은 하삼각행렬이면서 동시에 상삼각행렬이다.

정리


  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p69-71 ↩︎

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