로그함수의 미분법

로그함수의 미분법

derivative of logarithm function

공식

로그함수도함수는 다음과 같다.

$$ \begin{equation} \dfrac{d \log x}{dx}=\dfrac{1}{x} \label{fml1} \end{equation} $$

로그합성함수의 도함수는 다음과 같다.

$$ \begin{equation} \dfrac{d \left( \log f(x) \right)}{dx} = \dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \label{fml2} \end{equation} $$

설명

특히 $\eqref{fml2}$는 자주 쓰이는 치환트릭이다.

유도

(1)

로그함수의 정의에 의해서 다음의 식이 성립한다.

$$ x = e^{\log x} $$

양변을 미분하면 지수함수의 미분법연쇄법칙에 의해 다음과 같다.

$$ \begin{align*} 1 &= \dfrac{ d \left( e^{\log x} \right) }{dx} \\ &= \dfrac{ d \left( e^{\log x} \right) }{d \log x} \dfrac{d \log x}{dx} \\ &= e^{\log x} \dfrac{d \log x}{dx} \\ &= x \dfrac{d \log x}{dx} \end{align*} $$

$$ \implies \dfrac{d \log x}{dx} = \dfrac{1}{x} $$

(2)

로그함수의 정의에 의해서 다음의 식이 성립한다.

$$ f(x) = e^{\log f(x)} $$

나머지 과정은 위와 같다.

$$ \begin{align*} f^{\prime} &= \dfrac{ d e^{\log f(x)}}{dx} \\ &= \dfrac{ d e^{\log f(x)}}{d \log f(x)} \dfrac{d \log f(x)}{dx} \\ &= e^{\log f(x)} \dfrac{d \log f(x)}{dx} \\ &= f(x) \dfrac{d \log f(x)}{dx} \end{align*} $$

$$ \implies \dfrac{d \log f(x)}{dx} = \dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)} $$

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