헤비사이드 계단 함수를 미분하면 디랙 델타 함수가 됨을 증명

헤비사이드 계단 함수를 미분하면 디랙 델타 함수가 됨을 증명

derivative of heaviside function is dirac delta function

정리

헤비사이드 계단 함수의 도함수는 디랙 델타 함수이다.

$$ \dfrac{dH}{dx}=\delta (x) $$

이때 $H=H(x)$는 헤비사이드 계단 함수Heaviside step function 혹은 단위 계단 함수unit step function

$$ H(x)=\begin{cases} 1 & x>0 \\ 0 & x \le 0 \end{cases} $$

디랙 델타 함수

아래의 두 조건을 만족하는 함수를 디랙 델타 함수라고 한다.

$$ \begin{equation} \delta (x) = \begin{cases} 0, & x\neq 0 \\ \infty , & x=0 \end{cases} \label{condition1} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty}{\delta (x) dx}=1 \label{condition2} \end{equation} $$

증명

$\dfrac{dH}{dx}$가 디랙 델타 함수가 될 두 조건을 만족하는지 확인해보는 것으로 증명한다.

조건 $\eqref{condition1}$

$H(x)$는 $x \neq 0$에서 상수함수 이므로 $\dfrac{dH}{dx}=0$이고$x=0$에서 접선이 $y$축과 평행한 수직선이므로 미분계수는 발산하여 $\dfrac{dH}{dx}=\infty$따라서 $$ \dfrac{dH}{dx} = \begin{cases} \infty & x=0 \\ 0 & x \neq 0 \end{cases} $$

조건 $\eqref{condition2}$

$$ \begin{align*} \int _{-\infty} ^{\infty} \dfrac{dH}{dx} dx &= \int_{-\infty} ^{\infty} dH \\ &= \left[ H \right]_{-\infty}^{\infty} \\ &= 1-0 =1 \end{align*} $$

$\dfrac{dH}{dx}$가 디랙 델타 함수가 될 두 조건을 모두 만족하므로 다음의 결과를 얻는다.

$$ \dfrac{dH}{dx}=\delta (x) $$

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