지수함수의 미분법

지수함수의 미분법

derivative of exponential function

공식

지수함수도함수는 다음과 같다.

$$ \begin{equation} \dfrac{d e^{x}}{dx} = e^{x} \label{fml1} \end{equation} $$

지수합성함수의 도함수는 다음과 같다.

$$ \begin{equation} \dfrac{d \left( e^{f(x)} \right)}{dx} = f^{\prime}(x)e^{f(x)} \label{fml2} \end{equation} $$

설명

지수함수는 도함수와 자기 자신이 같은 유일한 함수이다.

유도

(1)

도함수의 정의를 이용하여 계산하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \dfrac{d e^{x}}{d x} &= \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{e^{x+h}-e^{x}}{h} \\ &= e^{x}\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{e^{h}-1}{h} \\ &= e^{x} \end{align*} $$

마지막 등호는 $\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{ e^{x} - 1}{x} = 1$이므로 성립한다.

(2)

연쇄법칙에 의해 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \dfrac{d e^{f(x)}}{d x} &= \dfrac{d e^{f(x)}}{d f(x)} \dfrac{d f(x)}{d x} \\ &= e^{f(x)} f^{\prime}(x) \\ &= f^{\prime}(x) e^{f(x)} \end{align*} $$

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