직교좌표계에서의 벡터, 내적, 외적의 미분

직교좌표계에서의 벡터, 내적, 외적의 미분

derivative of a vector in cartesian coordinate

공식

$\mathbf{A} = A_{x}\hat{\mathbf{x}} + A_{y}\hat{\mathbf{y}} + A_{z}\hat{\mathbf{z}}, \mathbf{B} = B_{x}\hat{\mathbf{x}} + B_{y}\hat{\mathbf{y}} + B_{z}\hat{\mathbf{z}}$를 3차원 직교좌표계에서의 벡터라고 하자. $n$을 임의의 스칼라라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

(a) $\dfrac{ d \left( n \mathbf{A} \right) }{dt} = \dfrac{ dn }{dt} \mathbf{A} + n\dfrac{ d\mathbf{A}}{dt}$

(b) $\dfrac{ d ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} )}{dt} = \dfrac{ \mathbf{A} }{dt} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \cdot \dfrac{ d\mathbf{B}}{dt}$

(c) $\dfrac{ d ( \mathbf{A} \times \mathbf{B}) }{dt} = \dfrac{ d \mathbf{A} } {dt} \times \mathbf{B} + \mathbf{A} \times \dfrac{ d \mathbf{B} } {dt}$

설명

고등학생 때부터 알고 있던 곱의 미분법을 떠올려보면 결과를 자연스럽게 받아들일 수 있을 것이다. 우선 $\mathbf{A}$의 도함수를 계산해보자.

$$ \begin{align*} \dfrac{ d \mathbf{A} } { dt } =& \dfrac{d}{dt} \left(A_{x}\hat{\mathbf{x}} + A_{y}\hat{\mathbf{y}} + A_{z}\hat{\mathbf{z}} \right) \\ =& \dfrac{ d A_{x} }{dt} \hat{\mathbf{x}} + A_{x} \dfrac{d \hat{\mathbf{x}}}{dt} + \dfrac{ d A_{y} }{dt} \hat{\mathbf{y}} + A_{y} \dfrac{d \hat{\mathbf{y}}}{dt} + \dfrac{ d A_{z} }{dt} \hat{\mathbf{z}} + A_{z} \dfrac{d \hat{\mathbf{z}}}{dt} \\ =& \dfrac{ d A_{x} }{dt} \hat{\mathbf{x}} + \dfrac{ d A_{y} }{dt} \hat{\mathbf{y}} + \dfrac{ d A_{z} }{dt} \hat{\mathbf{z}} \\ =& \left( \dfrac{ d A_{x} }{dt}, \dfrac{ d A_{y} }{dt}, \dfrac{ d A_{z} }{dt} \right) \end{align*} $$

각 방향의 단위벡터는 시간에 따라서 변하지 않으므로 미분했을 때 $\mathbf{0}$이다. 위 결과로부터 벡터함수의 도함수는 여전히 벡터함수인 것을 알 수 있다. 또한 다음의 식도 성립함을 알 수 있다.

$$ \left( \dfrac{ d \mathbf{A} } {dt} \right)_{x}=\dfrac{ d A_{x}}{ dt} $$

하지만 위 식은 일반적으로 성립하는 것이 아니라 직교좌표계에서만 성립하므로 주의해야 한다. 단위벡터가 시간에 따라 변할 경우에는 성립하지 않는다. 가령 극좌표계에서 속도와 가속도는 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \mathbf{v}=&\dot{r} \hat{\mathbf{r}} + r \dot{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}} \\ \mathbf{a}=& (\ddot r -r\dot{\theta} ^2)\hat{\mathbf{r}} + (2\dot{r} \dot{\theta} + r\ddot{\theta})\hat{\boldsymbol{\theta}} \end{align*} $$

그러면 아래와 같이 등식이 성립하지 않음을 알 수 있다.

$$ \left( \dfrac{d \mathbf{v}}{dt} \right)_{\theta} = a_{\theta} = 2\dot{r} \dot{\theta} + r\ddot{\theta} \ne \dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta} = \dfrac{d v_{\theta}}{dt} $$

증명

(a)

$$ \begin{align*} \dfrac{ d (n\mathbf{A}) }{ dt} =& \dfrac{ d}{dt} (nA_{x}\hat{\mathbf{x}} + nA_{y}\hat{\mathbf{y}} + nA_{z} \hat{\mathbf{z}}) \\ =& \left( \dfrac{dn}{dt}A_{x} + n\dfrac{dA_{x}}{dt} \right) \hat{\mathbf{x}} +\left( \dfrac{dn}{dt}A_{y} + n \dfrac{dA_{y}}{dt} \right) \hat{\mathbf{y}} + \left( \dfrac{ dn }{ dt } A_{z} + n \dfrac{ d A_{z} }{dt } \right) \hat{\mathbf{z}} \\ =& \dfrac{dn}{dt} \left( A_{x} \hat{\mathbf{x}} + A_{y} \hat{\mathbf{y}} + A_{z} \hat{\mathbf{z}}\right) + n \left( \dfrac{ dA_{x}}{dt}\hat{\mathbf{x}} + \dfrac{dA_{y}}{dt}\hat{\mathbf{y}} + \dfrac{dA_{z}}{dt} \hat{\mathbf{z}} \right) \\ =& \dfrac{ dn } {dt } \mathbf{A} + n\dfrac{ d \mathbf{A} }{ dt } \end{align*} $$

(b)

$$ \begin{align*} \dfrac{ d (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})} {dt} =& \dfrac{d}{dt}\left( A_{x}B_{x} + A_{y}B_{y} + A_{z}B_{z} \right) \\ =& \left( {\color{blue}\dfrac{ d A_{x}}{dt}B_{x}} + A_{x}\dfrac{ d B_{x}}{dt} \right) + \left( {\color{blue}\dfrac{ dA_{y}}{dt}B_{y} } + A_{y}\dfrac{d B_{y}}{dt} \right) + \left( {\color{blue} \dfrac{ d A_{z}}{dt}B_{z} }+ A_{z}\dfrac{dB_{z}}{dt}\right) \\ =& \left( {\color{blue}\dfrac{ d A_{x}}{dt}B_{x} + \dfrac{ dA_{y}}{dt}B_{y} + \dfrac{ d A_{z}}{dt}B_{z} } \right) + \left( A_{x}\dfrac{ d B_{x}}{dt} + A_{y}\dfrac{d B_{y}}{dt} + A_{z}\dfrac{dB_{z}}{dt} \right) \\ =& \left[ \left( \dfrac{ d \mathbf{A}}{dt}\right)_{x}B_{x} + \left(\dfrac{ d\mathbf{A}}{dt}\right)_{y}B_{y} + \left( \dfrac{ d \mathbf{A}}{dt}\right)_{z}B_{z} \right] + \left[ A_{x} \left( \dfrac{ d \mathbf{B}}{dt} \right)_{x} + A_{y} \left( \dfrac{d \mathbf{B}}{dt}\right)_{y} + A_{z} \left( \dfrac{d \mathbf{B} }{dt} \right)_{z}\right] \\ =&\dfrac{d\mathbf{A}}{dt}\cdot \mathbf{B} + \mathbf{A}\cdot \dfrac{d\mathbf{B}}{dt} \end{align*} $$

(c)

$$ \begin{align*} \dfrac{d( \mathbf{A} \times \mathbf{B}) }{ dt } =& \dfrac{ d}{dt} \left[ \hat{\mathbf{x}} (A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y})+ \hat{\mathbf{y}} (A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z}) + \hat{\mathbf{z}} (A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x}) \right] \\ =& \hat{\mathbf{x}} \left( {\color{blue} \dfrac{ dA_{y}}{dt}B_{z} } +A_{y}\dfrac{d B_{z}}{dt} {\color{blue} -\dfrac{d A_{z}}{dt}B_{y} } –A_{z}\dfrac{B_{y}}{dt} \right) + \hat{\mathbf{y}} \left( {\color{blue} \dfrac{ dA_{z}}{dt}B_{x} } +A_{z}\dfrac{d B_{x}}{dt} {\color{blue} -\dfrac{d A_{x}}{dt}B_{z} } –A_{x}\dfrac{B_{z}}{dt} \right) \\ &\quad + \hat{\mathbf{z}} \left( {\color{blue} \dfrac{ dA_{x}}{dt}B_{y} } +A_{x}\dfrac{d B_{y}}{dt} {\color{blue} -\dfrac{d A_{y}}{dt}B_{x} } –A_{y}\dfrac{B_{x}}{dt} \right) \\ =& {\color{blue} \left[ {\color{black} \hat{\mathbf{x}} \left( \dfrac{ dA_{y}}{dt}B_{z}-\dfrac{d A_{z}}{dt}B_{y}\right) + \hat{\mathbf{y}} \left( \dfrac{ dA_{z}}{dt}B_{x}-\dfrac{d A_{x}}{dt}B_{z} \right) + \hat{\mathbf{z}} \left( \dfrac{ dA_{x}}{dt}B_{y}-\dfrac{d A_{y}}{dt}B_{x} \right)} \right] } \\ &\quad + \left[ \hat{\mathbf{x}} \left( A_{y}\dfrac{d B_{z}}{dt}-A_{z}\dfrac{d B_{y}}{dt} \right) + \hat{\mathbf{y}} \left( A_{z}\dfrac{d B_{x}}{dt}-A_{x}\dfrac{d B_{z}}{dt} \right) + \hat{\mathbf{z}} \left( A_{x}\dfrac{d B_{y}}{dt}-A_{y}\dfrac{d B_{x}}{dt} \right) \right] \\ =& \dfrac{d\mathbf{A}}{dt} \times \mathbf{B} + \mathbf{A} \times \dfrac{d \mathbf{B}}{dt} \end{align*} $$

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