삼중대각행렬의 행렬식 유도

삼중대각행렬의 행렬식 유도

공식

삼중대각행렬 $X_{n} := \begin{bmatrix} x & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & x & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \end{bmatrix}$ 에 대해 $$ | x_{n}| = U_{n} \left( {{x} \over {2}} \right) $$

$U_{n}$ 은 $n$ 차 제2종 체비셰프 다항함수를 의미한다.물론 $X_{n}$ 은 일반적인 삼중대각행렬이 아니고 삼중대각 퇴플리츠Toeplitz 행렬 중에서도 특수한 형태다. 그 중에서 특히 편미분방정식의 수치해석적인 풀이에 유용하게 쓰이는 형태로써, 보통은 그 고유값에 관심이 많다.

증명

**Part 1. $| X_{n+1} | = x | X_{n} | - | X_{n-1} |$

라플라스 전개: 선택된 $i$행 에 대해 $$ \det A = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} $$

$n \times n$ 행렬 $Y_{n} : = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \end{bmatrix}$ 을 정의하자. $Y_{n}$ 의 첫번째 열은 $(1, 0 , \cdots , 0)$ 으로써, 첫번째 성분을 제외하면 영벡터가 되므로 첫번째 열을 포함한 여인자는 $0$ 이 된다. 따라서

$$ | Y_{n} | = 1 \cdot | X_{n-1} | - 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 - \cdots \pm 0 \cdot 0 = | X_{n-1} | $$

마찬가지로 라플라스 전개에 의해

$$ | X_{n+1} | = x \cdot | X_{n} | - 1 \cdot | Y_{n} | + 0 \cdot 0 - \cdots \pm 0 \cdots 0 = x | X_{n} | - | X_{n-1} | $$


**Part 2. $\displaystyle | x_{n}| = U_{n} \left( {{x} \over {2}} \right)$

명제 $\displaystyle P(n) : | x_{n}| = U_{n} \left( {{x} \over {2}} \right)$ 을 정의하고 수학적 귀납법을 사용하자.

$n=1$ 일 때, $$ | X_{1} | = x \\ U_{1} \left( {{x} \over {2}} \right) = 2 {{x} \over {2}} = x $$

$n=2$ 일 때, $$ | X_{2} | = x^2 - 1 \\ U_{2} \left( {{x} \over {2}} \right) = 4 \left( {{x} \over {2}} \right)^2 - 1 = x^2 - 1 $$

명제 $P(n)$ 이 $n=k-1$, $n=k$ 일 때 성립한다고 가정해보자.

제2종 체비셰프 다항함수의 재귀식:

$$ U_{n+1} (x) = 2x U_{n} (x) - U_{n-1} (x) $$

Part 1에서

$$ | X_{k+1} | = x | X_{k} | - | X_{k-1} | $$

이고,

$$ U_{k+1} \left( {{x} \over {2}} \right) = x U_{k} \left( {{x} \over {2}} \right) - U_{k-1} \left( {{x} \over {2}} \right) $$

따라서

$$ | X_{k+1} | - U_{k+1} \left( {{x} \over {2}} \right) = x \left[ | X_{k} | - U_{k} \left( {{x} \over {2}} \right) \right] - \left[ | X_{k-1} | - U_{k-1} \left( {{x} \over {2}} \right) \right] $$

가정에서 $\displaystyle | X_{k} | = U_{k} \left( {{x} \over {2}} \right)$ 이고 $\displaystyle | X_{k-1} | = U_{k-1} \left( {{x} \over {2}} \right)$ 이므로

$$ | X_{k+1} | - U_{k+1} \left( {{x} \over {2}} \right) = 0 $$

수학적 귀납법에 의해 $P(n)$ 은 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 참이다.

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