유수정리를 이용한 모든 정수에 대한 급수의 합 공식

유수정리를 이용한 모든 정수에 대한 급수의 합 공식

Derivation of Series formula for all integers using residue Theorem

공식 1

분수함수 $f$ 에 대해 $\lim_{n \to \infty} z f(z) = 0, n \in \mathbb{Z}$ 에서 $f(n) \ne 0$ 이라고 하자. $f$ 가 유한한 특이점 $z_{1}, \cdots , z_{m}$ 을 가질 때, $$ \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z) $$

설명

단순히 자연수만을 모두 더하는 것이 아니라 모든 정수에 대한 합을 유한한 합계로 나타내는 데 의의가 있다. 물론 주어진 $f$ 가 우함수일 경우 그 절반을 취하면 자연수에 대한 합을 구하는데에도 응용이 가능하다. 코탄젠트는 물론 $\pi$ 까지 군데군데 곱해진 복잡한 형태 때문에 외워놓고 쓰긴 어렵지만 이런 툴이 있다는 걸 알아는 두자.

유도

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자연수 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 위 그림과 같은 경로 $\mathscr{C}_{k}$ 를 생각해보자. 분수함수 $f$ 가 어떤 자연수 $k_{0}$ 이 존재해서 $k>k_{0}$ 일 때 $\mathscr{C}_{k}$ 상에서 연속이고 $\displaystyle \lim_{z \to \infty} z f(z) = 0$ 이라고 가정하자.

각 $\mathscr{C}_{k}$ 에 대해 $\displaystyle |z| \ge k + {{1 } \over {2}} > k$ 이고 연속이라는 가정에서 모든 $\varepsilon> 0$ 에 대해 $$ {{1} \over {|z|} } < \delta \implies |z f(z) | < \varepsilon $$ 을 만족하는 $\delta > 0$ 이 존재한다. $\displaystyle k > {{1} \over {\delta}}$ 로 선택하면 $\mathscr{C}_{k}$ 에서 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $\displaystyle |f(z)| < {{\varepsilon} \over {k + 1/2}}$ 을 만족하는 $k$ 가 존재한다. $\mathscr{C}_{k}$ 의 길이는 $$ 8 \left( k + {{1 } \over {2}} \right) $$ 이고 $$ |\coth \pi z| \le {{e^{\alpha \pi} + e^{- \alpha \pi}}\over {e^{\alpha \pi} - e^{- \alpha \pi}}} = \coth \alpha \pi \le \coth {{3} \over {2}} \pi < 2 $$ 이므로 ML 보조정리에 의해 $$ {{1} \over {k}} < \delta \implies \left| \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) \cot \pi z dz \right| \le {{8 (k + 1/2) 2 \varepsilon } \over { k + 1/2}} = 16 \varepsilon $$ 따라서 $$ \lim_{k \to \infty} \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) \cot \pi z dz = 0 $$ 이제 $F(z) := \pi f(z) \cot \pi z$ 이라고 정의하면 $f(n) \ne 0$ 이므로 $n \in \mathbb{Z}$ 들은 모두 $F$ 의 단순극이된다. 유수를 구해보면 $$ \text{Res}_{n} F(z) = {{ \pi f(z) \cos \pi z} \over { (\sin \pi z)' }} = \left. {{ \pi f(z) \cos \pi z} \over { \pi \cos \pi z }} \right|_{z = n} = f(n) $$ 가정에 따라 $F$ 는 여전히 특이점 $z_{1} , z_{2} , \cdots , z_{m}$ 들을 가지므로 유수정리에 의해 $$ \begin{align*} \lim_{k \to \infty} \int_{\mathscr{C}_{k}} F(z) dz =& \lim_{k \to \infty} 2 \pi i \left( \sum_{n = -k} ^{k} f(n) + \sum_{n = 1} ^{m} \text{Res}_{z_{n}} F(z) \right) \\ =& 2 \pi i \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) + \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z) \right) \end{align*} $$ 우리는 이미 위에서 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) \cot \pi z dz = 0$ 임을 보였으므로 $$ \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z) $$

교대급수에 대한 공식

모든 정수에 대한 교대급수의 합 공식: 분수함수 $f$ 에 대해 $$ \lim_{n \to \infty} z f(z) = 0 \\ n \in \mathbb{Z} $$ 에서 $f(n) \ne 0$ 이라고 하자. $f$ 가 유한한 특이점 $z_{1}, \cdots , z_{m}$ 을 가질 때 $$ \sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^{n}f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \csc \pi z) $$

한편 교대급수에 대해서도 위와 비슷하게 유도할 수 있으니 직접 손으로 써가면서 해보도록 하자.


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p183. ↩︎

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