푸아송 합 공식 유도

푸아송 합 공식 유도

Derivation of poisson summation Formula

공식

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ 가 슈바르츠 함수라고 하자. 그러면 $$ \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \widehat{f}(k) $$


  • 슈바르츠 함수 $f \in C^{\infty}(\mathbb{R})$ 란 $x \to \pm \infty$ 일 때 함숫값의 크기 $\left| f (x) \right|$ 가 빠르게 $0$ 으로 수렴하는 함수를 말한다.
  • $f$ 와 $\gamma \in \mathbb{R}$ 에 대해 $\widehat{f}(\gamma)$ 는 다음과 같은 푸리에 변환을 나타낸다. $$ \widehat{f} ( \gamma ) = \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{2 \pi i \gamma x} dx $$

증명1

$$ F(x) := \sum_{n \in \mathbb{Z}} f ( x + n ) $$ 이라고 하면 $F$ 는 $1$-피리어딕하며, 다음과 같이 푸리에 계수 $\widehat{F}_{k}$ 를 계산할 수 있다. $$ \begin{align*} \widehat{F}_{k} &= \int_{0}^{1} \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(x+n) e^{-2\pi i k z } dx \\ =& \sum_{n \in \mathbb{Z}} \int_{0}^{1} f(x+n) e^{-2\pi i k z } dx \\ =& \sum_{n \in \mathbb{Z}} \int_{n}^{n+1} f(x) e^{-2\pi i k z } dx \\ =& \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-2\pi i k z } dx \\ =& \widehat{f} (k) \end{align*} $$ 그러면 $F$ 의 푸리에 전개에 따라 $$ \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(x+n) = F(x) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \widehat{F}_{k} e^{i k x } = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \widehat{f} (k) e^{i k x} $$ $x = 0$ 을 대입하면 다음을 얻는다. $$ \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \widehat{f}(k) $$


  1. https://proofwiki.org/wiki/Poisson_Summation_Formula ↩︎

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