양자역학에서 운동량 연산자

양자역학에서 운동량 연산자

Momentum Operator in Quantum Mechanics

정의

양자역학에서 운동량 연산자는 아래와 같다.

$$ p_{\text{op}} = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} = -i\hbar \dfrac{\partial }{\partial x} $$

설명

운동량 연산자파동함수의 운동량을 계산해주는 함수로, 운동량이 $p = \hbar k$인 파동함수 $\psi$를 대입했을 때 다음의 식을 만족시키는 함수를 말한다.

$$ p_{\text{op}} \psi = p \psi $$

2차원 이상의 경우에, 각 방향으로의 운동량 연산자는 다음과 같다.

$$ p_{\text{op}}^{x} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x},\quad p_{\text{op}}^{y} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial y},\quad p_{\text{op}}^{z} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial z} $$

따라서 3차원 운동량 연산자는,

$$ p_{\text{op}} = -i\hbar\nabla $$

유도

1차원에서 생각하자. 우리가 찾고자 하는 함수는 운동량이 $p$인 파동함수 $\psi(x,t) = e^{i(kx - \omega t)}$에 대해서 다음의 식을 만족하는 연산자이다.

$$ p_{\text{op}} \psi = p \psi $$

양자역학에서 운동량과 에너지는 각각 $p = \hbar k$이므로 파동함수는,

$$ \psi(x,t) = e^{i(px - \hbar \omega t)/\hbar} $$

여기서 운동량 $p$를 얻으려면 $x$로 미분하면 된다.

$$ \dfrac{\partial }{\partial x} e^{i(px - \hbar \omega t)/\hbar} = \dfrac{i}{\hbar} p e^{i(px - \hbar \omega t)/\hbar} $$

따라서

$$ \begin{align*} && \dfrac{\hbar}{i}\dfrac{\partial }{\partial x} e^{i(px - \hbar \omega t)/\hbar} &= p e^{i(px - \hbar \omega t)/\hbar} \\ \implies && \dfrac{\hbar}{i}\dfrac{\partial }{\partial x} \psi(x, t) &= p \psi(x, t) \\ \implies && p_{\text{op}} = \dfrac{\hbar}{i}\dfrac{\partial }{\partial x} \end{align*} $$

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