양자역학에서 운동량 연산자

양자역학에서 운동량 연산자

정의

양자역학에서 운동량 연산자는 아래와 같다.

$$ p_{\text{op}} = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} = -i\hbar \dfrac{\partial }{\partial x} $$

설명

운동량 연산자란 파동함수의 운동량을 계산해주는 함수로, 운동량이 $p = \hbar k$인 파동함수 $\psi$에 대해서 다음의 식을 만족시킨다.

$$ p_{\text{op}} \psi = p \psi $$

유도

$$ \begin{align*} \left\langle p \right\rangle =&\ \left\langle m\frac{dx}{dt} \right\rangle \\ =&\ m\frac{d}{dt} \left\langle x \right\rangle \\ =&\ m\frac{d}{dt} \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^\ast x \psi \ dx \\ =&\ m\int_{-\infty}^{+\infty} \left( \frac{\partial{\psi}^\ast}{\partial t}x\psi + \psi ^{\ast} x \frac{\partial \psi}{\partial t} \right)dx \end{align*} $$

1차원에서 슈뢰딩거 방정식과 그 복소 켤레는 아래와 같다.

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} =&\ -\frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2}+U\psi \\ \frac{\partial \psi}{\partial t}=&-\frac{\hbar}{2mi}\frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{U\psi}{i\hbar} \end{aligned} \quad \text{and} \quad \begin{aligned} -i\hbar \frac{\partial \psi ^{\ast}}{\partial t} =&-\frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial ^2 \psi ^{\ast}}{\partial x^2}+U^{\ast}\psi ^{\ast} \\ \frac{\partial \psi ^{\ast}}{\partial t} =&\ \frac{\hbar}{2mi}\frac{\partial ^2 \psi ^{\ast}}{\partial x^2}-\frac{U^{\ast}\psi ^{\ast}}{i\hbar} \end{aligned} \end{equation*} $$

위의 식에 대입하면 다음과 같다.

$$ \left\langle p \right\rangle =m \int_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{\hbar}{2mi}\frac{\partial^2 \psi^{\ast}}{\partial x^2}x\psi-\frac{U^{\ast}\psi^{\ast}}{i\hbar}x\psi-\psi^{\ast}x\frac{\hbar}{2mi}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\psi^{\ast}x\frac{U\psi}{i\hbar} \right) dx $$

포텐셜이 있는 항과 없는 항을 분리하면 다음과 같다.

$$ \left\langle p \right\rangle =m \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{\hbar}{2mi}\frac{\partial^2 \psi^{\ast}}{\partial x^2}x\psi-\psi^{\ast}x\frac{\hbar}{2mi}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \right)dx-m \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{i\hbar} \left(U^{\ast}\psi^{\ast}x\psi-\psi^{\ast}xU\psi\right) dx $$

이 때 $U^{\ast}\psi^{\ast}x\psi=U\psi^{\ast}x\psi=\psi^{\ast}Ux\psi=\psi^{\ast}xU\psi$이므로 포텐셜이 포함된 항은 $0$이다. 따라서 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} \left\langle p \right\rangle =&\m \int_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{\hbar}{2mi}\frac{\partial^2 \psi^{\ast}}{\partial x^2}x\psi-\psi^{\ast}x\frac{\hbar}{2mi}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \right)dx \\ =&\ \frac{\hbar}{2i}\int \left( \color{blue}{\frac{\partial^2 \psi^{\ast}}{\partial x^2}x\psi }-\color{red}{\psi^{\ast}x\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}} \right)dx \end{align*} $$

첫번째 항을 부분적분하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} &\int\frac{\partial^2 \psi^{\ast}}{\partial x^2}x\psi dx \\ =&\ \int\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial x} \right) x \psi dx \\ =&\ \left. \frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial x}x\psi \right]_{-\infty}^{+\infty}-\int\frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x} (x\psi)dx \\ =&\ \left. -\psi^{\ast}\frac{\partial }{\partial x} \left( x \psi \right) \right]_{-\infty}^{+\infty}+\int \psi^{\ast} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \left( x\psi \right)dx \\ =&\ \int\psi^{\ast}\frac{\partial}{\partial x} \left( \psi + x\frac{\partial \psi}{\partial x} \right) dx & (\because\quad \psi(\pm\infty)=\psi^{\ast}(\pm \infty) = 0) \\ =&\ \int \psi^{\ast} \left( \frac{\partial \psi}{\partial x}+\frac{\partial \psi}{\partial x}+x\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \right) dx \\ =&\ \int 2\psi^{\ast}\frac{\partial \psi}{\partial x}dx +\color{red}{\int\psi^{\ast}x\frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2}dx} \end{align*} $$

빨간색으로 칠해진 부분은 서로 상쇄된다. 따라서 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} \left\langle p \right\rangle =&\ \frac{\hbar}{2i} \int 2\psi^{\ast}\frac{\partial \psi}{\partial x}dx \\ =&\ \frac{\hbar}{i} \int \psi^{\ast}\frac{\partial \psi}{\partial x}dx \\ =&\ \int \psi^{\ast} \left( \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} \right) \psi dx \end{align*} $$

기댓값의 정의 $\left( \displaystyle \langle f(x) \rangle \equiv \int\psi^{\ast}_{(x,t)} f(x) \psi_{(x,t)} dx \right)$에 의해 다음을 얻는다.

$$ p_{\text_{op}}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} $$

3차원에서는 다음과 같다.

$$ \vec{p_{\text_{op}}}=\frac{\hbar}{i}\vec{\nabla} $$

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