로렌츠 변환 유도

로렌츠 변환 유도

derivation of lorentz transformation

유도

  • 글이 좀 길기는 하지만 굉장히 쉽게 적어놨으니 쫄지말고 해보자.

$A$관성계(좌표계)의 $xy$평면에서 움직이는 빛(광자)을 생각해보자. $t=0$일 때 원점에서 출발해 $x$축과 $\theta$를 이루며 나아가고 있다.

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갈릴레이 변환을 대신할 새로운 변환의 모습은 아래와 같다고 할 수 있다.

$$ \begin{pmatrix} t’ \\ x’ \\ y^{\prime} \\ z’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ ct\cos\theta \\ ct\sin\theta \\ 0 \end{pmatrix} $$

새로운 변환을 찾기 전에 우선 갈릴레이 변환을 생각해보자

$$ \begin{pmatrix} t’ \\ x’ \\ y^{\prime} \\ z’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}1 & \color{red}0 & 0 & 0 \\ \color{red}{-v_{0}} & \color{red}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} $$

여기서 우리가 새로 얻고자 하는 변환 역시 갈릴레이 변환처럼 움직이지 않는 방향에 대해서는 영향을 주지 않는다고 가정하자. 즉 $A’$관성계가 $x$방향으로 움직이고 있으니 $y$, $z$성분은 영향을 끼치지 않는다고 하자. 그러면 우리가 얻고 싶은 새로운 변환은 갈릴레이 변환에서 빨간색 부분만 바뀌는 것이다. 그러므로 새로운 변환을 다음과 같다고 하자.

$$ \begin{equation} \begin{pmatrix} t’ \\ x’ \\ y^{\prime} \\ z’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & 0 & 0 \\ e & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ ct\cos\theta \\ ct\sin\theta \\ 0 \end{pmatrix} \label{eq1} \end{equation} $$

알파벳 순서상 $e$자리에 $c$가 들어가는게 자연스러우나 $c$는 광속으로 사용하기 때문에 $e$를 사용했다. 이제 주어진 조건에서 $a$, $b$, $e$, $d$를 찾으면 된다. 행렬을 풀어보면 다음과 같다.

$$ \begin{align} t’&=at+bct\cos\theta \label{eq2} \\ x’& = et+dct\cos\theta \label{eq3} \\ y^{\prime}& = ct\sin\theta \label{eq4} \\ z’& = 0 \nonumber \end{align} $$

$\eqref{eq2}$을 $t$에 대해서 정리하면 아래와 같다.

$$ t=\frac{t’}{a+bc\cos\theta} $$

이를 $\eqref{eq3},$ $\eqref{eq4}$에 대입하면 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} x’ &= \frac{e+dc\cos\theta}{a+bc\cos\theta}t’ \\ y^{\prime} &= \frac{c\sin\theta}{a+bc\cos\theta}t’ \end{align*} $$

상대성 이론에 따르면 이 빛의 속도는 $A$계에서도 $c$이고, $A’$계에서도 $c$이어야 한다. 이를 수식으로 표현하면 아래와 같다.

$$ \begin{align} {v’_{x}} ^{2}+{v’_{y}} ^{2}+{v’_{z}} ^{2}=c^2 \label{eq5} \end{align} $$

위에서 얻은 $x’$, $y^{\prime}$으로 $v_{x}’$, $v_{y}’$을 구하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} v’_{x} &= \frac{dx’}{dt’}=\frac{e+dc\cos\theta}{a+bc\cos\theta} \\ v’_{y} &= \frac{dy^{\prime}}{dt’}=\frac{c\sin\theta}{a+bc\cos\theta} \\ v’_{z} &= 0 \end{align*} $$

위의 세 식을 $\eqref{eq5}$에 대입하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} && \left( \frac{e+dc\cos\theta}{a+bc\cos\theta} \right)^{2} + \left( \frac{c\sin\theta}{a+bc\cos\theta} \right) ^{2} &= c^{2} \\ \implies && (e+dc\cos\theta)^{2} + c^{2}\sin^{2}\theta &= c^{2}(a+bc\cos\theta)^{2} \\ \implies && e^{2}+2edc\cos\theta + d^2c^{2}\cos^{2}\theta + {\color{blue}c^{2}\sin^{2}\theta} &= c^2a^{2}+2abc^3\cos\theta+b^2c^4\cos^{2}\theta \\ \implies && e^{2}+2edc\cos\theta + d^2c^{2}\cos^{2}\theta + {\color{blue}c^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta} &= c^2a^{2} + 2abc^3\cos\theta + b^2c^4\cos^{2}\theta \end{align*} $$

위 식을$\cos\theta$에 대해서 묶어주면 다음을 얻는다.

$$ c^{2}(d^{2}-1)\cos^{2}\theta + 2edc\cos\theta + (e^{2}+c^{2}) = b^2c^4\cos^{2}\theta + 2abc^3\cos\theta + a^2c^{2} $$

이때 양변의 상수항, 1차항의 계수, 2차항의 계수가 같아야 하므로 아래의 식을 얻는다.

$$ \begin{align} e^{2}+c^{2}&=a^2c^2 \label{eq6} \\ 2edc=2abc^3 \quad &\implies \quad ed=abc^2 \label{eq7} \\ c^{2}(d^{2}-1)=b^2c^4 \quad &\implies \quad d^{2}-1=b^2c^{2} \label{eq8} \end{align}
$$ $\eqref{eq6}$, $\eqref{eq7}$, $\eqref{eq8}$의 세 조건을 얻었지만 우리가 구하고자 하는 미지수는 $4$개이므로 하나의 조건이 더 필요하다. 나머지 하나의 식은 입자가 정지한 조건에서 구할 수 있다. $A$계의 원점에서 정지한 입자의 변환식은 다음과 같다.

$$ \begin{pmatrix} t’ \\ x’ \\ y^{\prime} \\ z’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & 0 & 0 \\ e & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} at \\ et \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} t’ \\ -v_0t’ \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

따라서 다음의 식을 얻는다.

$$ \begin{align*} t’ &= at \\ et &= -v_0t’=-v_0at \end{align*} $$

그러면 아래의 식을 얻는다.

$$ \begin{align} e = -v_{0}a \label{eq9} \end{align} $$

이 때 $A’$계의 속도가 $0$이라면$(v_{0}=0)$ $A$계와 $A’$계의 세계선이 같으므로 변환은 다음과 같다.

$$ \begin{pmatrix} t’ \\ x’ \\ y^{\prime} \\ z’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} $$

따라서 $v_{0}=0$일 때 아래의 식을 얻는다.

$$ \begin{align} a=1,\quad b=0,\quad e=0,\quad d=1 \label{eq10} \end{align} $$

위 조건을 $\eqref{eq6}$에 $\eqref{eq9}$를 대입하면 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} && \quad{v_{0}}^{2} a^{2}+c^{2} &= c^{2} a^{2} \\ \implies && a^{2} &= \frac{c^{2}}{c^{2}-{v_{0}}^{2}} \\ \implies && a &= \pm\frac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} \end{align*} $$

이때 $\eqref{eq10}$에 의해 $v_{0}=0$일 때 $a=1$이므로 다음과 같다.

$$ a=\frac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} $$

위에서 구한 $a$를 $\eqref{eq9}$에 대입하면 아래와 같다.

$$ e = -v_{0}\frac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} $$

$\eqref{eq7}$에 $\eqref{eq9}$를 대입하면 아래와 같다.

$$ \begin{align} && ed =&\abc^{2} \nonumber \\ \implies && -v_{0} ad &= abc^{2} \nonumber \\ \implies && d &= \frac{bc^{2}}{{-v_{0}}} \label{eq11} \end{align} $$

위에서 구한 $d$를 $\eqref{eq8}$에 대입하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} && \frac{b^2c^4}{{v_{0}}^{2}}-1 &= b^2c^{2} \\ \implies && \frac{b^2c^4}{{v_{0}}^{2}}-b^2c^{2} &= 1 \\ \implies && \frac{b^2c^{2}}{{v_{0}}^{2}}{(c^{2}-{v_{0}}^{2})} &= 1 \\ \implies && b^{2}&= \frac{{v_{0}}^{2}}{c^{2}(c^{2}-{v_{0}}^{2})} \\ \implies && b &= \pm\frac{v_{0}}{c\sqrt{c2-{v_{0}}^{2}}} \end{align*} $$

이를 다시 $\eqref{eq11}$에 대입하면 다음을 얻는다.

$$ d=-\frac{b}{v_{0}}c^{2}=\mp \frac{c^{2}}{v_{0}}\frac{v_{0}}{c\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}}=\mp \frac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} $$

$\eqref{eq10}$에 의해 $v_{0}=0$일 때 $d=1$이므로 다음과 같다.

$$ \begin{align*} d &= \frac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} \\ b &= -\frac{v_{0}}{c\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} \end{align*} $$

위에서 구한 $a, b, c, d$를 정리하면 아래의 식을 얻는다.

$$ \begin{align*} a &= \frac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}}, & b &= -\frac{v_{0}}{c\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} \\ e &= -v_{0}\frac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}}, & d &= \frac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} \end{align*} $$

이를 $\eqref{eq1}$에 대입하면 다음과 같다.

$$ \begin{pmatrix} t’ \\ x’ \\ y^{\prime} \\ z’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & -\dfrac{v_{0}}{c\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & 0 & 0 \\ -v_{0} \dfrac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & \dfrac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} $$

여기서 $\begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix}$를 시공간 4벡터time-space four-vector라 한다. 그런데 $x, y, z$는 길이의 단위인데 $t$만 시간의 단위이다. 따라서 단위를 맞춰주기 위해서 $t$대신 $ct$를 사용한다(시간*속도=거리이고 $c$는 빛의속도이므로).

$$ \begin{array}{ece} t’ = \dfrac{c}{\sqrt{\ \ }}t -\dfrac{v_{0}}{c} \dfrac{1}{\sqrt{\ \ }} x && ct’ =\dfrac{c}{\sqrt{\ \ }}ct - \dfrac{v_{0}}{\sqrt{\ \ }}x \\ & \implies & \\ x’ =\dfrac{-v_0c}{\sqrt{\ \ }}t +\dfrac{c}{\sqrt{\ \ }}x && x’= \dfrac{-v_{0}}{\sqrt{\ \ }}ct + \dfrac{c}{\sqrt{ \ \ }}x \end{array} $$

단위를 맞춰준 4-벡터는 아래와 같다.

$$ \begin{pmatrix} ct’ \\ x’ \\ y^{\prime} \\ z’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & -\dfrac{v_{0}}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & 0 & 0 \\ \dfrac{-v_{0}}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & \dfrac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} $$

위 변환이 바로 맥스웰 방정식에 맞아떨어지는(=어느 좌표계에서도 빛의 속도가 $c$인) 새로운 변환이다. 이 변환을 로렌츠 변환Lorentz transformation이라 한다. 그런데 위와 같은 형태로 쓰기에는 너무 복잡하기 때문에 공통된 부분을 상수로 만들어주는 것이 편하다. 아래와 같은 $\gamma_{0}$를 로렌츠 팩터Lorentz factor라고 한다.

$$ \gamma_{0} \equiv \frac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{v_{0}}^{2}}{c^{2}}}} $$

그리고 $\beta_{0}$를 아래와 같다고 하자.

$$ \beta_{0} \equiv \frac{v_{0}}{c} $$

그러면 로렌츠 팩터를 더 간단히 나타낼 수 있다.

$$ \begin{align*} \gamma_{0} &= \frac{1}{\sqrt{1-{\beta_{0}}^{2}}} \\ \frac{-v_{0}}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} &= \frac{-v_{0}}{c}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{v_{0}}^{2}}{c^{2}}}}=-\gamma_{0}\beta_{0} \end{align*} $$ 이를 로렌츠 변환에 대입하면 다음과 같다.

$$ \begin{pmatrix} ct’ \\ x’ \\ y^{\prime} \\ z’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma_{0} & -\gamma_{0}\beta_{0} & 0 & 0 \\ -\gamma_{0}\beta_{0} & \gamma_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} $$

설명

비록 갈릴레이 변환이 설명하지 못하는 부분이 생겨 로렌츠 변환을 이끌어냈지만 갈릴레이 변환이 완전히 틀린 것은 아니다. 로렌츠 변환에서 $v_{0}$가 빛의 속도 $c$에 비해 무시할 정도로 작다면, 즉 $\frac{v_{0}}{c}=0$인 상황이라면 로렌츠 변환은 갈릴레이 변환과 같은 꼴이다.

$$ \begin{align*} \begin{pmatrix} t’ \\ x’ \\ y^{\prime} \\ z’ \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} \dfrac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & -\dfrac{v_{0}}{c\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & 0 & 0 \\ \dfrac{-v_0c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & \dfrac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{1-{(v_{0}/c)}^{2}}} & -\dfrac{v_{0}}{c^{2}}\dfrac{1}{\sqrt{1-{(v_{0}/c)}^{2}}} & 0 & 0 \\ \dfrac{-v_{0}}{\sqrt{1-{(v_{0}/c)}^{2}}} & \dfrac{1}{\sqrt{1-{(v_{0}/c)}^{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{1-{0}^{2}}} & -0\dfrac{1}{\sqrt{1-{0}^{2}}} & 0 & 0 \\ \dfrac{-v_{0}}{\sqrt{1-{0}^{2}}} & \dfrac{1}{\sqrt{1-{0}^{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 & 0 \\ -v_{0} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{align*} $$

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