르장드르의 배 공식 유도

르장드르의 배 공식 유도

Derivation of legendres duplication Formula

공식

$$ \Gamma (2r) = {{2^{ 2r - 1} } \over { \sqrt{ \pi } } } \Gamma \left( r \right) \Gamma \left( {{1} \over {2}} + r \right) $$

설명

쪼개지는 모양이 그렇게 예쁘지는 않지만 인수를 작게 나눌 수 있다는 것은 분명 유용한 사실이다. 유도 자체는 베타함수에서 파생된 보조정리를 사용하면 별로 어렵지 않다.

유도

$$ B(p,q) = {{\Gamma (p) \Gamma (q)} \over {\Gamma (p+q) }} = \int_{0}^{1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt $$ 에 대해 $r:= p=q$ 이라고 하면 $$ {{\Gamma (r) \Gamma (r)} \over {\Gamma (2r) }} = \int_{0}^{1} t^{r-1} (1-t)^{r-1} dt $$ $\displaystyle t = {{1+s} \over {2}}$ 로 치환하면 $\lambda(s) := \left( 1 - s^2 \right)^{r-1}$ 이 우함수이므로 $$ \begin{align*} {{\Gamma (r) \Gamma (r)} \over {\Gamma (2r) }} =& {{1} \over {2}} \int_{-1}^{1} \left( {{1+s} \over {2}} \right)^{r-1} \left( {{1-s} \over {2}} \right)^{r-1} ds \\ =& {{1} \over {2^{1 + 2(r-1)} }} \int_{-1}^{1} \left( 1 - s^2 \right)^{r-1} ds \\ =& 2^{1 - 2r} \cdot 2 \int_{0}^{1} \left( 1 - s^2 \right)^{r-1} ds \end{align*} $$

베타함수의 삼각함수 표현의 따름정리: $$ B(x,y) = 2 \int_{0}^{1} t^{2x-1} \left( 1 - t^2 \right)^{y-1} dt $$

위 공식에 $\displaystyle x = {{1} \over {2}}$ 와 $y = r$ 을 대입하면 $$ B \left( {{1} \over {2}} , r \right) = 2 \int_{0}^{1} \left( 1 - t^2 \right)^{r-1} dt $$ 이므로 $$ {{\Gamma (r) \Gamma (r)} \over {\Gamma (2r) }} = 2^{1 - 2r} B \left( {{1} \over {2}} , r \right) = 2^{1 - 2r} {{\Gamma \left( {{1} \over {2}} \right) \Gamma (r)} \over {\Gamma \left( {{1} \over {2}} + r \right) }} $$ 을 얻는다. 반사 공식에서 $\displaystyle \Gamma \left( {1 \over 2} \right) = \sqrt{\pi}$ 이므로 $$ {{\Gamma (r)} \over {\Gamma (2r) }} = 2^{1 - 2r} {{\sqrt{\pi} } \over {\Gamma \left( {{1} \over {2}} + r \right) }} $$ $\Gamma (2r)$ 에 대해 정리하면 $$ \Gamma (2r) = {{2^{2r-1} } \over { \sqrt{ \pi } } } \Gamma \left( r \right) \Gamma \left( {{1} \over {2}} + r \right) $$

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