열 방정식

열 방정식

정의1

아래의 편미분방정식열 방정식heat equation이라 한다.

$$ u_{t}=\Delta u $$

비동차nonhomogeneous인 경우에는 다음과 같다.

$$ u_{t}-\Delta u=f $$

설명

라플라스 방정식에서 시간에 대한 미분항이 추가된 꼴이다. 라플라스 방정식은 시간의 흐름에 무관하므로 평형 상태에 대한 방정식이고, 열 방정식은 시간의 흐름에 영향을 받으므로 어떤 물리량이 흐르는(확산되는) 상태에 대한 방정식이다. 열 방정식이라는 이름이 붙은 것도 열역학에서 처음 등장했기 때문이다. 확산 방정식diffusion equation이라고도 한다.

유도

$U \subset \mathbb{R}^n$가 열린 집합이고 물리적인 공간을 의미한다고 하자. $u:U\times (0,\ \infty) \to \mathbb{R}$를 어떤 물리량의 밀도 함수라고 하자. 그러면 $u(x,\ t)$는 어떤 지점 $x\in U$에서 시간이 $t>0$일 때의 밀도를 의미한다. 고정된 어떤 열린 집합 $V$가 $V \Subset U$이고 $V\in C^{\infty}$를 만족한다고 하자. 그리고 $\mathbf{F} : U \times (0, \infty) \to \mathbb{R}^n$를 $u$의 선속flux이라고 하자. 그러면 $u$와 $\mathbf{F}$사이에 다음의 식이 성립해야한다.

$$ \dfrac{d}{dt}\int_Vu(x,t)dx = -\int_{\partial V}\mathbf{F}(x, t) \cdot \nu (x) dS(x) $$

좌변은 어떤 공간의 내부에서 물리량 $u$의 변화량을 말하는 것이고, 우변은 그 공간의 경계에서 빠져나가거나 들어온 양을 말하는 것이다. 스스로 생기거나 없지지지 않는 한 그 양은 일정하다. 내부의 물리량에 변화가 생겼다면 반드시 들어오거나 나오는 것이 있어야하고, 그 둘의 값은 서로 같다는 것이다.

쉬운 예로 방 안에 사람이 있다고 하자. 방 안에서 사람을 세는 관찰자가 있고 문 앞에 서서 출입하는 사람을 세는 관찰자가 있다. 만약 3명이 나갔다면 방 안의 관찰자가 측정한 변화량은 -3이고 문 앞에 서있는 관찰자가 센 사람의 수는 3이다. 우변에 마이너스 부호가 붙은 까닭이 바로 이것이다.

$u \in C^{2}$이므로 좌변의 미분을 적분 안으로 넣고, 우변에 그린-가우스 정리를 적용하면 다음과 같다.

$$ \int_V u_t(x,t)dx=-\int_V \nabla \cdot \mathbf{F}(x,t)dx\quad \forall t>0 $$

따라서 다음을 얻는다.

$$ u_t=-\nabla \cdot \mathbf{F}\quad \mathrm{in}\ U\times(0,\infty) $$ 라플라스 방정식을 유도했을 때와 같이, $F$가 $u$의 그래디언트에 비례하는 양이라고 하면 $\mathbf{F}=-aDu$이고, 다음을 얻는다.

$$ u_t=-\nabla \cdot(-aDu)=a\nabla \cdot Du=a\Delta u $$

$a=1$이라 두면 열 방정식을 얻는다.


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p44 ↩︎

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