푸리에 변환 유도

푸리에 변환 유도

빌드업

유한한 구간을 주기로 갖는(=유한한 구간에서 정의된) 함수는 푸리에 급수를 이용해서 근사할 수 있다. 이는 유용하지만 주기함수 에 대해서만 쓸 수 있으므로 비주기 함수에 대해서도 비슷한 역할을 하는 도구가 필요하다. 이러한 아이디어에서부터 나온 것이 푸리에 변환Fourier transform이다. 푸리에 변환을 유도하는 과정에서 핵심 아이디어는 비주기 함수를 마치 실수 전체 구간을 주기로 가지는, 주기가 수직선에 전체에 걸쳐 1번 반복되는 함수라고 생각하는 것이다.

유도1

$f$를 구간 $[-L,L)$에서 정의된 함수라고 하자. 그러면 $f$의 푸리에 급수와 복소 푸리에 계수는 다음과 같다.

$$ \begin{equation} f(t)=\sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i\frac{n\pi t}{L}} \end{equation} $$

$$ c_n = \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)e^{-i\frac{n \pi t}{L} }dt $$

다음과 같은 변수 치환을 해주자.

$$ \Delta \xi = \dfrac{\pi}{L},\quad \xi_n=n\Delta\xi=\dfrac{n\pi}{L} $$

그러면 $(1)$은 다음과 같다.

$$ f(t) = \sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i\xi_n t}, \quad c_n = \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)e^{-i \xi_n t }dt $$

$f(t)$에 적절한 상수를 곱해주고 $c_n$의 적분항을 $\hat{f}(\xi_n)$이라 하면

$$ f(t)=\dfrac{L}{\pi}\sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i\xi_n t}\Delta \xi , \quad c_n = \dfrac{1}{2L}\hat{f}(\xi_n) $$

그리고 $f(t)$가 $t \rightarrow \pm \infty$일 때 빠르게 $0$으로 수렴한다고 가정하자. 그러면 $c_n$에 대해서 적분 구간을 $[-L,L)$에서 $(-\infty,\infty)$로 확장시켜도 원래의 $c_n$과 크게 다르지 않을 것이다.

$$ c_n \approx \dfrac{1}{2L} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\xi_n t}dt $$

이는 $\xi_n$만의 함수이므로 $c_n = \frac{1}{2L}\hat{f}(\xi_n)$이라고 하자. $f(t)$에 대입하면

$$ f(t) \approx \dfrac{1}{2 \pi}\sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi_n) e^{i\xi_n t}\Delta \xi $$

이는 리만합과 매우 유사하게 생겼다. 이제 $L\rightarrow \infty$ 극한을 취해주면 $\Delta\xi \rightarrow 0$이고 위 식의 $\approx$는 등식이 되고 합은 적분이 된다.

$$ f(t) = \dfrac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{i\xi t} d\xi \quad \text{and} \quad \hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\xi t}dt $$

이때 $\hat{f}$를 $f$의 푸리에 변환이라하고, $f$를 $\hat{f}$의 푸리에 역변환Fourier inverse transform이라 한다.

설명

앞의 상수는 어디에 붙어도 상관이 없기 때문에 역변환 앞에 적기도, 변환 앞에 적기도 한다. 혹은 양쪽에 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$를 붙이기도 한다. 이는 저자의 편의에 따라 다르게 나타나는 것일 뿐 본질적으로 차이는 없다. 또한 정의를 보면 $f$가 적분 가능한, 즉 $f\in L^{1}$인 조건을 만족해야 푸리에 변환이 잘 정의된다는 것을 알 수 있다. $\hat{f}$도 적분가능하면 푸리에 역변환도 잘 정의된다. 다변수 함수의 푸리에 변환은 다음과 같이 정의한다.

$$ \mathcal{F}f(\boldsymbol{\xi}):=\int f(x)e^{-i \boldsymbol{\xi} \cdot \mathbf{x} }d\mathbf{x} $$

$$ \mathcal{F} f(\xi_1,\ \cdots ,\ \xi_n) := \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} f(x_{1},\ \cdots,\ x_n)e^{-i(\xi_1 x_{1}+\cdots+\xi_n x_n)}dx_{1}\cdots dx_n $$

$f$의 푸리에 변환으로 흔히 쓰는 두 가지 표기법이 있다.

$$ \mathcal{F}(f),\quad \hat{f} $$

교재에서는 저자가 선호하는 기호가 무엇이냐에 따라서 다른데 둘 다 많이 쓰이는 편이다. 오른쪽의 햇 기호를 쓰는게 편해보이지만 헷갈릴 여지가 있기 때문에 정확하게 적어야 할 때는 왼쪽의 표현을 쓰는게 낫다. 예를들어 함수 자체의 기호가 길어질 경우 햇 기호를 썼을 때 헷갈리거나 보기에 좋지 않다. 하지만 흘림체 $F$를 쓰면 깔끔하고 정확하게 표기할 수 있다.

$$ \mathcal{F}(\mathcal{W}_cf),\quad \hat{\mathcal{W}_cf},\quad \widehat{\mathcal{W}_cf} $$

다만 헷갈릴 여지가 없을 때는 햇 기호가 더 편하기도 하다. 마치 함수 $f$의 미분을 편의에 따라 아래의 두 가지 표현으로 쓰는 것과 같다.

$$ f^{\prime}(x), \quad \dfrac{df}{dx} $$

왼쪽의 기호는 간단하게 적을 때 사용하기 좋고 오른쪽의 표기법은 엄밀하게 나타내거나 실제로 계산해야할 때 사용하면 좋은 것 처럼 푸리에 변환의 두 기호도 그렇다.


  1. Gerald B. Folland, Fourier Analysis and Its Applications (1992), p204-205 ↩︎

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