푸리에 급수 유도

푸리에 급수 유도

정의

$2L$-주기함수 $f$에 대해서 다음과 같은 급수$f$의 푸리에 급수Fourier series of f라고 정의한다.

$$ \begin{align*} \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t) &= \lim \limits_{N \to \infty}\left[ \dfrac{a_0}{2}+\sum \limits_{n=1}^{N} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right] \\ &= \dfrac{a_0}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \end{align*} $$

이때 각각의 계수 $a_{0}, a_{n}, b_{n}$을 푸리에 계수Fourier coefficient라고 하며 값은 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \\ a_0 &=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)dt \\ a_{n} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{n\pi t}{L} dt \\ b_{n} &=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin \dfrac{n\pi t}{L}dt \end{align*} $$

설명

푸리에 급수는 임의의 함수를 삼각함수의 급수전개로 표현한 것으로, 프랑수 수학자 조제프 푸리에Joseph Fourier열 방정식을 풀기 위해서 고안한 것으로 잘 알려져있다. 임의의 함수라고 표현한 이유는 어떤 구간 $(a,b)$에서 정의된 함수가 있다면 이를 Ctrl+C, Ctrl+V해서 $(b-a)$-주기함수로 만들어줄 수 있기 때문이다.

핵심 원리는 서로 수직인 삼각함수들의 선형결합으로 나타낸다는 것인데 3차원 벡터로 비유하면 $(4,-1,7)$를 다음과 같이 쪼개는 것과 같다.

$$ (4,-1,7) = a_{1}\hat{\mathbf{e}}_{1} + a_{2}\hat{\mathbf{e}}_{1} + a_{3}\hat{\mathbf{e}}_{1} $$

유도

회귀분석1


실제로 $f$의 푸리에 급수는 $f$와 오차가 아주 적은 것은 물론이고 조건이 잘 갖춰지면 $f$로 점별 수렴한다.

$$ f(t) =\dfrac{a_0}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L}t + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) $$


  1. 최병선, Fourier 해석 입문 (2002), p51-53 ↩︎

  2. RSS가 평균제곱오차이다. ↩︎

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