평행한 두 직선 사이의 거리를 구하는 공식 유도

평행한 두 직선 사이의 거리를 구하는 공식 유도

공식

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$$ d=\frac { |2k| }{ \sqrt { m^{ 2 }+1 } } $$

설명

이차곡선의 접선을 구하는 문제를 풀다보면 두 접선 사이의 거리를 구하라는 경우가 종종 있다. 물론 적당한 한 점과 다른 직선의 거리를 구하는 공식이 있기 때문에 구하는 것 자체가 어려운 것은 아니다. 하지만 아주 쉽고 빠르게 그 거리를 구할 수 있는 공식을 알고 있다면 조금이라도 계산량을 줄일 수 있을 것이다.

유도

평행하는 두 직선의 방정식을 $y=mx\pm k$ 이라 하자. 임의의 한 점 $(x,y)$ 와 직선 $y=mx+k$ 사이의 거리는 $$ \displaystyle \frac { |mx-y+k| }{ \sqrt { m^{ 2 }+1 } } $$ 직선 $y=mx-k$ 위의 한 점 $(x_{1},y_{1})$ 에 대해 나타내면 $$ k=m {x}_{1}-{y}_{1} $$ 거리를 구하는 공식에 $m {x}_{1}-{y}_{1}=k$ 를 대입하면 $$ \displaystyle {{ |m{x}_{1}-{y}_{1}+k| }\over{ \sqrt { m^{ 2 }+1 } }} = {{ |k+k| }\over{\sqrt { m^{ 2 }+1 }}} $$ 따라서 평행한 두 직선 $y=mx\pm k$ 사이의 거리는 $$ \displaystyle \frac { |2k| }{ \sqrt { m^{ 2 }+1 } } $$

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