채프만-콜모고로프 방정식 유도

채프만-콜모고로프 방정식 유도

Derivation of Chapman-Klmogorov Equation

정리

확률과정전이확률 $p_{ij}^{(n)}$, $p_{ij}(t)$전이확률행렬 $P^{(n)}$, $P(t)$ 에 대해 다음의 방정식들이 성립한다.

이산적 확률과정

$$ \begin{align*} p_{ ij }^{ (n+m) } =& \sum _{ k } p_{ ik }^{ (n) } p _{ kj }^{ (m) } \\ P^{(n+m)} =& P^{(n)} P^{(m)} \end{align*} $$

연속적 확률과정

$$ \begin{align*} p_{ij} (t + s) =& \sum _{ k } p_{ ik } \left( t \right) p _{ kj } \left( s \right) \\ P(t+s) =& P(t) P(s) \end{align*} $$

설명

스테이트 $i$ 에서 $j$ 로 갈 때까지 걸리는 $n+m$ 의 스텝을 $n$ 과 $m$ 으로 쪼개어 표현할 수 있다는 뜻이다. 굳이 증명하지 않고 직관적으로 생각해봐도 $i$ 부터 $k$ 까지 $n$ 번 걸리는 확률과 $k$ 에서 $j$ 까지 $m$ 번 걸리는 확률을 생각해보면 $i$ 에서 $k$ 를 거쳐 $j$ 까지 갈 확률일테고, 모든 상태 $k$ 에 대해서 이 확률들을 더한 값은 중간에 뭘 거쳤든 결국 $i$ 에서 $j$ 로 가는 확률이 될 것이다.

유도

전략: 이산적 확률과정에 대해서만 증명한다. 처음에 $X_0$ 를 $i$ 로 가정해서 그 뒤로 쓸데없이 ‘$i$에서 출발하는’ 것에 대한 언급을 하지 않을 수 있다. 시그마 안에서의 식은 조건부확률 $P(A|B)=P(AB)/P(B)$ 의 양변에 $P(B)$ 를 곱하면 $P(AB)=P(A|B)P(B)$ 처럼 나타낼 수 있는 것과 같이 넘어간다.


$ { X }_{ 0 }=i$ 이라 가정하면 $$ \begin{align*} { p } _{ ij }^{ (n+m) } =& P({ X }_{ n+m }=j ) \\ =& \sum _{ k }^{ }{ P({ X }_{ m }=j , { X }_{ n }=k) } \\ =& \sum _{ k }^{ }{ P({ X }_{ m }=j | { X }_{ n }=k)P({ X }_{ n }=k) } \\ =& \sum _{ k }^{ }{ { p }_{ ik }^{ (n) } { p }_{ kj }^{ (m) } } \end{align*} $$

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