이항 급수 유도

이항 급수 유도

Derivation of binomial Series

공식

$|x| < 1$ 이면 $\alpha \in \mathbb{C}$ 에 대해

$$ \begin{align*} (1 + x )^{\alpha} =& \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^{k} \\ =& 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^{2} + \dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^{3} + \cdots \end{align*} $$

설명

이른바 뉴턴의 이항 정리 로써, 이항 전개가 무한대와 복소수에 대해서 일반화된 것으로 볼 수 있다.

한편 우리에게 익숙한 꼴은 다음과 같은 방법으로 간단하게 유도할 수 있다.

$$ \begin{align*} && \left( 1 + {{y} \over {x}} \right)^{\alpha} =& \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} \left( \dfrac{y}{x} \right)^{k} \\ \implies && x^{-\alpha} \left( x + y \right)^{\alpha} =& \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} y^{k} x^{-k} \\ \implies && \left( x + y \right)^{\alpha} =& \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^{\alpha-k} y^{k} \end{align*} $$

유도

Strategy: $\alpha$ 에 대한 함수 $g(\alpha)$ 를 만든 후 $F$ 가 연속임을 보인다. 연속함수가 $g( \alpha + \beta ) = g( \alpha ) g( \beta )$ 를 만족하면 지수함수에 관련된 성질을 가지며, 이를 통해 좌변에 $(1 + x)^\alpha$ 를 이끌어낸다.


$g$ 를 $g ( \alpha ) := \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^{k}$ 과 같이 정의하자.

$$ \lim_{k \to \infty} \left| {{ \binom{\alpha}{k+1} x^{k+1} } \over { \binom{\alpha}{k} x^{k} }} \right| = \lim_{k \to \infty} \left| {{ \alpha - k } \over { k + 1 }} \right| | x | = | x | < 1 $$

비 판정법에 의해 $F$ 는 $\mathbb{C}$ 상에서 절대수렴하면서 균등수렴하고, 따라서 $\mathbb{C}$ 상에서 연속함수다.

두 멱급수의 곱

$f(x) : = \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}$ 와 $g(x) : = \sum_{k=0}^{\infty} b_{k} x^{k}$ 의 수렴구간이 $(-r,r)$ 이고 $c_{k} := \sum_{j=0}^{k} a_{j} b_{k-j}$ 이라고 하면 $\sum_{k=0}^{\infty} c_{k} x^{k}$ 는 수렴구간 $(-r,r)$ 상에서 $f(x)g(x)$ 로 수렴한다.

이항 계수의 성질

$\sum_{j=0}^{k} \binom{\alpha}{k-j} \binom{\beta}{j} = \binom{\alpha + \beta}{k}$

$$ \begin{align*} g(\alpha) g(\beta) =& \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^{k} \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\beta}{k} x^{k} \\ =& \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{k} \binom{\alpha}{k-j} \binom{\beta}{j} x^{k} \\ =& \sum_{k=0}^{\infty} \binom{ \alpha + \beta}{k} x^{k} \\ =& g (\alpha + \beta ) \end{align*} $$

연속 호모몰피즘의 성질

연속함수 $g : \mathbb{R} \to ( 0 , \infty )$ 가 모든 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ 에 대해 $g(\alpha + \beta) = g(\alpha) g(\beta)$ 을 만족하면 $g(\alpha) = \left( g(1) \right)^\alpha$

$g(1) = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{1}{k} = 1 + x$ 이므로

$$ (1 + x )^{\alpha} = g ( \alpha ) = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^{k} $$

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