라돈 변환

라돈 변환

개요

라돈 변환적분 변환의 일종으로 오스트리아의 수학자 라돈Johann Radon, 1887-1956에서 이름을 따왔다.

방사성 원소인 라돈의 경우, 수학자 라돈의 이름에서 따온 것이 아니라 방사성radiactive이라는 단어에 비활성기체접미사 ‘-on’을 붙여 이름 지어졌다.

라돈 변환은 CT 촬영의 핵심 원리중 하나이며 베르-람베르트 법칙이라는 물리 법칙을 기반으로 한다. 이는 X-선1의 세기가 통과하는 매질의 종류에 따라 다르게 감소한다는 내용을 담고 있다. X-선의 세기가 줄어들었다는 말은 곧 매질이 X-선을 흡수했다는 말과 같다. 매질이 빛을 흡수하는 정도를 감쇠 계수attenuated coefficient , 흡수 계수absorption coefficient 혹은 흡광도absorbance 라고 한다. 매질마다 감쇠 계수가 다르다는 점을 이용하여 X-선으로 비파괴 검사를 실시하는 것이 CT 촬영이다. X-선 촬영에서 뼈가 있는 부분이 하얗게 보이는 것은 뼈가 다른 물질보다 X-선을 많이 흡수하기 때문이다.

유도2

$x$를 위치, $I(x)$를 X-선의 세기, $A(x)$를 매질의 감쇠 계수라고 하자.

비어-람베르트 법칙Beer-Lambert law

X-선의 세기의 변화율은 다음과 같다.

$$ \begin{equation} \frac{ dI }{ dx }=A(x)I(x) \end{equation} $$

$x_{0}$, $x_{1}$, $I_{0}$, $I_{1}$를 각각 X-선이 출발한 위치, 도착한 위치, 그리고 각 지점에서의 X-선의 세기라고 하자. $(1)$을 변수분리해주고 양변을 적분하여 정리하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} && \int_{x_{0}}^{x_{1}} \frac{1}{I(x)}dI &= - \int_{x_{0}}^{x_{1}}A(x)dx \\ \implies && \ln \left( I_{1} \right) - \ln \left( I_{0} \right)&= -\int_{x_{0}}^{x_{1}}A(x)dx \\ \implies && \ln \left( \frac{I_{1}}{I_{0}}\right) &= -\int_{x_{0}}^{x_{1}}A(x)dx \\ \implies && \ln \left( \frac{I_{0}}{I_{1}}\right) &= \int_{x_{0}}^{x_{1}}A(x)dx \end{align*} $$

위 식을 살펴보자. $I_{0}$는 X-선을 쐈을 때의 세기이므로 우리가 알고있는 값이다. $I_{1}$은 오브젝트를 통과하여 나온 뒤의 세기인데, 디텍터가 이 값을 측정한다. 따라서 좌변은 우리가 알고 있는 값이다.

우변의 적분 범위는 우리가 쏜 X-선의 진행 경로이므로 알 고 있다. 따라서 X-선이 진행한 경로 $L$과 그 양 끝에서의 세기 $I_{0}$, $I_{1}$가 주어지면, $A(x)$를 경로 $L$로 적분한 값을 얻을 수 있다. 이를 $A(x)$에 대한 라돈 변환이라고 한다.

정의3

어떤 2차원 도메인 $D\subset \mathbb{R}^{2}$에서 정의된 함수 $f :D \to \mathbb{R}$가 주어졌다고 하자. 각각의 극좌표 $(s,\theta)$에 대한 $f$의 라돈 변환 $\mathcal{R}f$를 다음과 같이 정의한다.

$$ \begin{align*} \mathcal{R} f(s,\theta):= &\int_{l_{s,\theta}} fdt \\ = & \int _{t=-\infty} ^{\infty} f \left( s\cos\theta-t\sin\theta, s\sin\theta + t\cos\theta \right)dt \end{align*} $$

여기서 $l_{s,\theta}$는 극좌표 $(s,\theta)$로 결정되는 직선이다.


$f$는 직교 좌표 $(x, y)$에 대한 함수인 반면에, 라돈 변환 $\mathcal{R}f$는 극 좌표 $(s, \theta)$에 대한 함수이다.

성질

라돈 변환은 다음과 같은 성질들을 갖는다.


  1. 빛, 방사선 등 편한대로 이해하면 된다. ↩︎

  2. Timothy G. Feeman, The Mathematics of Medical Imaging: A Begginner’s Guide. Springer, 2010, p4 ↩︎

  3. Timothy G. Feeman, The Mathematics of Medical Imaging: A Begginner’s Guide. Springer, 2010, p11 ↩︎

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