호프-락스 공식의 유도와 증명

호프-락스 공식의 유도와 증명

빌드업1

해밀토니안 $H$가 $Du$에만 의존하는 해밀턴-야코비 방정식 의 초기값 문제를 보자.

$$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} u_{t} + H(Du)&=0 && \text{in } \mathbb{R}^n \times (0,\infty) \\ u&=g && \text{on } \mathbb{R}^n \times \left\{ t=0 \right\} \end{aligned} \right. \label{eq1} \end{equation} $$

일반적으로 해밀토니안은 공간 변수에 의존하여 $H(Du, x)$와 같은 꼴이나, 여기에서는 $x$에 대해서 영향을 받지 않는다고 하자. 그리고 해밀토니안 $H\in C^\infty$에 대해서 다음과 같은 가정을 하자.

$$ \begin{cases} H \mathrm{\ is\ convex} \\ \lim \limits_{|p|\to \infty} \dfrac{H(p)}{|p|}=\infty \end{cases} $$

그리고 $L=H^{\ast}$이라 하면 라그랑지안 $L$도 위와 같은 특성을 만족한다. 마지막으로 초기값 $g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$가 립시츠 연속이라고 하자. 즉,

$$ \mathrm{Lip}(g):=\sup \limits_{x,y\in \mathbb{R}^n \\ x \ne y} \dfrac{ |g(x)-g(y)| }{|x-y|} < \infty $$

또한 주어진 해밀턴-야코비 방정식 $\eqref{eq1}$의 특성 방정식은 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \dot{\mathbf{p}}(s) &= -D_{x}H \big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \\ \dot{z}(s) &= D_p H\big( \mathbf{p}(s),\ \mathbf{x}(s)\big)\cdot \mathbf{p}(s) -H\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s)\big) \\ \dot{\mathbf{x}}(s) &= D_pH\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \end{align*} $$

여기서 $H$는 $x$에 무관하다고 가정했으므로 다시 적으면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \dot{\mathbf{p}} &= 0 \\ \dot{z} &= D H( \mathbf{p} )\cdot \mathbf{p} -H ( \mathbf{p} ) \\ \dot{\mathbf{x}} &= DH ( \mathbf{p}) \end{align*} $$

이 때 $t(s)=s, p(s)=Du(x(s), s), z(s)=u(x(s), s)$이다. $p$에 대한 미분과 $x$에 대한 미분을 구별할 필요가 없으므로 $D$의 아래첨자를 생략했다. 오일러-라그랑주 방정식은 고정된 시점과 종점에 대해서 성립하므로 주어진 해밀턴-야코비 방정식 $\eqref{eq1}$의 해가 존재한다면 아래와 같은 local in time solution이다.

$$ u= u(x,t) \in C^2\big( \mathbb{R}^n \times [0,T]\big) $$

위 특성 방정식에서 첫번째, 세번째 식은 라그랑지안 $L=H*$으로 정의된 작용의 최소화 문제에서 나온 오일러-라그랑주 방정식을 만족하는 해밀턴 방정식이다.

$H$와 $L$이 $p$, $v\in \mathbb{R}^n$에서 미분 가능하다면 아래의 내용들은 전부 동치이다.

$$ \begin{cases} p\cdot v=L(v) + H(p) \\ p=DL(v) \\ v=DH(p) \end{cases} $$

이 때 $p=D_vL(v)$로 정의 되므로 위의 보조 정리를 쓰면 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} \dot{z}(s) &= DH(\mathbf{p})\cdot \mathbf{p}-H(\mathbf{p}) \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{p}-H(\mathbf{p}) \\ &= L(\mathbf{v})+H(\mathbf{p})-H(\mathbf{p}) \\ &= L(\mathbf{v}) = L\big(\dot{\mathbf{x}}(s)\big) \end{align*} $$

따라서 $z(t)$를 구해보면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} z(t) &= \int_0^t \dot{z}(s)dx +z(0) \\ &= \int_0^tL \big( \dot{\mathbf{x}}(s) \big) + u\big( \mathbf{x}(0),\ 0\big) \\ &= \int_0^t L\big( \dot{\mathbf{x}}(s)\big) ds +g\big(\mathbf{x}(0) \big) \end{align*} $$

그런데 이 때 위의 위의 조건에서 $z(t)=u(x(t), t)$였으므로 다음을 얻는다.

$$ u(x,t)=\int_0^t L\big( \dot{\mathbf{x}}(s)\big) ds +g\big(\mathbf{x}(0) \big) \quad (0 \le t <T) $$

이는 local in time smooth solution이므로 global in time weak solution을 구할 수 있느냐 하는 문제가 남았다. 다시 작용의 최소화 문제로 돌아가는데 오일러-라그랑주 방정식을 이끌어 냈던 때와 다른 점은 종점만 고정한다 는 것이다.

고정된 $x \in \mathbb{R}^n, t>0$이 주어졌다고 하자. 그리고 어드미서블 클래스 $\mathcal{A}$를 다음과 같다고 하자.

$$ \mathcal{A}=\left\{ \mathbf{w}\in C^1\big( [0,t];\mathbb{R}^n \big)\ :\ \mathbf{w}(t)=x \right\} $$

그리고 아래와 같은 작용에 대한 최소화 문제를 생각해 보자.

$$ \mathbf{w}(\cdot) \in \mathcal{A} \mapsto \int_0^t L\big( \dot{\mathbf{w}}(s)\big) ds + g(\mathbf{w}(0)) $$

만약 위 작용의 미니마이저 $\mathbf{x}(\cdot)$가 존재한다면 , $\mathbf{p}(s):=DL(\dot{\mathbf{x}}(s))$이고, 오일러-라그랑주 방정식을 만족하고 따라서 해밀턴 방정식도 만족한다. 그러므로 위의 local in time solution의 경우에서 얻었던 것 처럼 해는 아래와 같이 주어질 것이다.

$$ u(x,t)=\int_0^tL\big( \dot{\mathbf{x}}(s)\big)ds +g \big( \mathbf{x}(0) \big) $$

위에 대한 내용을 모티브로 global in time weak solution이 존재한다면 다음과 같이 정의할 수 있다.

$$ \begin{equation} u(x,t):=\inf \limits_{\mathbf{w} \in \mathcal{A}} \left\{ \int_0^t L\big( \dot{\mathbf{w}}(s) \big)ds + g\big( \mathbf{w}(0) \big) \right\} \label{eq2} \end{equation} $$

정리

$x \in \mathbb{R}^n$이고 $t>0$라고 하자. 그러면 $\eqref{eq2}$의 최소화 문제의 해는 다음과 같이 주어진다.

$$ u(x,t) = \min \limits_{y \in \mathbb{R}^n} \left\{ tL\left( \dfrac{x-y}{t} \right) +g(y) \right\} $$

이를 호프-락스 공식Hopf-Lax formula이라고 한다.

증명

우선 $\inf$에 대해 성립함을 보이고 그 다음 실제로 $\min$이 됨을 보이는 순서로 증명한다.


그러므로 Step 1.Step 2. 에 의해서 다음이 성립한다.

$$ \begin{equation} u(x,t) = \inf \limits_{y \in \mathbb{R}^n} \left( tL\left( \dfrac{x-y}{t} \right) + g(y) \right) \label{eq3} \end{equation} $$


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p122-124 ↩︎

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