조밀한 부분집합과 클로져

조밀한 부분집합과 클로져

조밀한 부분집합

정의1

$W \subset V$를 놈 공간 $V$의 부분집합이라고 하자. 임의의 $\mathbf{v} \in V$와 $\epsilon \gt 0$에 대해서, 다음을 만족하는 $\mathbf{w} \in W$가 항상 존재하면, $W$를 $V$에서 조밀한 부분집합dense subset이라 한다.

$$ \left\| \mathbf{v} - \mathbf{w} \right\| \le \epsilon $$

설명

만약 $W$가 $V$의 조밀한 부분공간이면, $V$ 내의 임의의 원소는 어떤 $W$의 원소로 잘 근사될 수 있음을 의미한다.

$\mathbf{v} \in V$이고 $\epsilon = \dfrac{1}{k} (k \in \N)$이라고 하자. $W$가 $V$의 조밀한 부분집합이면, 정의에 의해서 다음을 만족하는 $\mathbf{w}_{k} \in W$가 존재한다.

$$ \left\| \mathbf{v} - \mathbf{w}_{k} \right\| \le \dfrac{1}{k} $$

따라서 수열 $\left\{ \mathbf{w}_{k} \right\}$는 $k \to \infty$일 때 $\mathbf{v}$로 수렴한다.

$$ \lim \limits_{k \to \infty} \mathbf{w}_{k} = \mathbf{v} $$

그러므로 $W$가 $V$의 조밀한 부분집합이라는 것은 $\mathbf{v} \in V$로 수렴하는 $W$의 수열 $\left\{ \mathbf{w}_{k} \right\}$가 존재한다는 말과 같다.

클로져

정의

$W$를 놈 공간 $V$의 부분집합이라고 하자. 주어진 $\epsilon \gt 0$에 대해서, $\left\| \mathbf{v} - \mathbf{w} \right\| \le \epsilon$을 만족하는 $\mathbf{w} \in W$가 존재하는 모든 $\mathbf{v} \in V$들의 집합을 $W$의 클로져closure라고 정의하고 $\overline{W}$라고 표기한다.

$$ \overline{W} := \left\{ \mathbf{v} \in V | \text{for each } \epsilon \gt 0, \exist \mathbf{w} \in W \text{s.t. } \left\| \mathbf{v} - \mathbf{w} \right\| \le \epsilon\right\} $$

설명

조밀한 부분집합과는 반대로 정의된 것을 알 수 있다. 모든 $\mathbf{w}\in W\subset V$는 $\left\| \mathbf{w} - \mathbf{w} \right\| \le 0$을 만족하므로, 당연하게 $W \subset \overline{W}$가 성립한다.

정리

$W$를 놈 공간 $V$의 부분집합이라고 하자. 그러면 $W$가 $V$에서 조밀한 것은 $\overline{W} = V$인 것과 동치이다.

증명

조밀 부분집합과 클로져의 정의에 의해 자명하다.


  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p35-36 ↩︎

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