양자역학에서 축퇴란

양자역학에서 축퇴란

degeneracy


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**** 축퇴$(\mathrm{Degeneracy})$ 축퇴란 서로 다른1 두 파동함수가 같은 고유값을 가지는 것을 말한다. 다시 말하자면 두 파동함수가 축퇴되어 있다는 것은 두 파동함수의 에너지가 같다는 것이다. 그리피스 교재에서는 겹침, 겹친 상태라고 한다. 역자에 따르면 1995년 한국물리학회 발간 용어집에서 ‘겹침’이라는 말을 쓰기 전까지 축퇴라 불렀다고 한다. 하지만 겹친 상태라고 말하는 것은 한 번도 보지 못했고, 겹침이라는 말이 일상용어와 겹쳐서 검색 등에 유용하지 않아서 축퇴를 쓰는게 더 낫다고 생각한다. 임의의 연산자 $A$의 두 고유함수를 $\psi_1$, $\psi_2$, 고유값을 $a$라고 하자. $\psi_1$, $\psi_2$가 축퇴됐다는 말을 수식으로 표현하면 아래와 같다. $$ A\psi_1=a\psi_1 $$

$$ A\psi_2=a\psi_2 $$ 여기서 연산자 $A$가 에너지 연산자인 해밀토니안 $H$라고 한다면 두 파동함수의 에너지(고유값)가 같다는 의미이고 에너지만 봐서는 두 파동함수(=고유함수)를 구별해낼 수 없다는 뜻이다. 사람으로 비교하자면 김철수라는 2명의 인물을 이름만 봐서는 누가 누구인지 구별할 수 없는 것과 같다. 두 파동함수가 $\displaystyle \psi_1=e^{ikx},\ \psi_2=e^{-ikx}$라고 할 때 고유값 방정식을 풀면 $$ \begin{align*} H\psi_1 =&\ E_1\psi_1 \\ =&\ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2} e^{ikx} \\ =&\ -\frac{\hbar^2}{2m}(ik)^2 e^{ikx} \\ =&\ \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\psi_1 \end{align*} $$

$$ \begin{align*} H\psi_2 =&\ E_2\psi_2 \\ =&\ -\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial ^2}{\partial x^2} e^{-ikx} \\ =&\ -\frac{\hbar^2}{2m}(-ik)^2 e^{ikx} \\ =&\ \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\psi_2 \end{align*} $$

$$ E_1=\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m}=E_2 $$ 두 파동함수의 에너지가 같다. 즉, 축퇴되어있다. 따라서 고유값 방정식을 푸는 것만으로는 두 파동함수를 구별할 수 없다.축퇴를 수학적으로 표현하자면 ‘기하적으로 중복되었다’고 할 수 있다. 서로 다른 두 파동함수가 축퇴되어 있다면 에너지 준위가 같아 구분할 수 없듯, 두 고유벡터가 기하적 중복이라면 고유값이 같아 구분할 수 없는것이다.


  1. 선형 독립인 두 함수를 말한다. 쉽게 말해서 단순히 상수배인 두 함수는 같은 것으로 취급한다. ↩︎

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