벡터의 정의

벡터의 정의

Definition of vector

정의

수의 나열을 벡터라 한다.

설명

보통 교과과정에서 벡터는 ‘크기와 방향을 가진 기하학적 객체’로 배우게 된다. 아무래도 물리학에서 가장 먼저 접하게 되는 개념이다보니 다음과 같은 $3$차원 이하의 벡터에 친숙할수밖에 없다.

$$ (3,4) = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} \\ (x,y,z) = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} $$

그런데 사실 벡터는 그보다 더 많은 좌표에 대해 일반화가 가능하다. 단순히 수를 아래로 더 나열하기만하면 충분한데, 예로써 시간 $t$까지 고려한 $4$차원 벡터는 다음과 같이 표기할 수 있다.

$$ (t,x,y,z) = \begin{bmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix} $$

$4$차원 이상의 벡터는 어떤 의미가 있을까? 가령 산소 분자 하나하나 마다 시간 $t$ 에서의 위치 $(x,y,z)$ 와 열 에너지 $E$를 나타내고 싶다면 다음과 같이 $5$차원으로 확장하면 된다.

$$ (t,x,y,z,E) = \begin{bmatrix} t \\ x \\ y \\ z \\ E \end{bmatrix} $$

요는 벡터의 길이, 즉 차원이 높아진다는 것을 별로 두려워할 필요가 없다는 것이다. 주어진 형식 아래 끝없이 자유로운 수학의 세계에서 이러한 차원의 확장은 자연스럽고 당연한 일이다. 같은 방식으로 $n$차원까지 일반화한 벡터를 생각할 수 있으며, 보통 볼드체 $\mathbf{x}$ 를 사용해서 표기한다.

$$ \mathbf{x} = \left( x_{1}, \cdots , x_{n} \right) = \begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} $$

이러한 간단한 정의에서 $n$차원 벡터는 $n$-순서쌍$n$-tuple 과 구분되지 않는다. 물리에서 멀어지고 수학에 가까워질수록 화살표를 사용한 $\vec{x}$ 과 같은 표현은 줄어들게 되며, 추상적이고 일반적인 수학으로 들어가면 ‘좌표’나 ‘나열’ 같은 표현 없이 엄밀하고 정확한 정의를 세우게 된다.

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