📂해석개론

매끄러운 함수의 정의

Definition of Smooth Function

정의

1. 함수 $f$가 무한히 미분 가능하면, $f$를 매끄러운^{smooth, 스무스} 함수라고 한다.

2. 함수 $f$가 미분 가능하고 $f^{\prime}$가 연속이면, $f$를 매끄러운 함수라고 한다.

설명

$y= \left| x \right|$는 $x=0$에서 뾰족한 모양을 가지기 때문에 $x=0$에서 미분이 불가능하다. 따라서 모든 점에서 미분이 잘 되고, 미분한 함수도 여전히 뾰족하지 않을 때 매끄럽다 고 표현하는 것이다.

1. 해석학, 함수해석학 등에서 매끄럽다는 말은 첫번째 정의를 의미할 확률이 높다. 특히 함수공간에 대해서 얘기를 하고 있다면 매끄러운 함수란 $C^{\infty}$ 공간의 원소를 가리킨다.

2. 한편 미분적분학, 기하학 등에서 매끄럽다는 말은 두번째 정의를 의미할 확률이 높다. 여기에서는 함수가 딱히 무한히 미분가능해야할 필요도 없고, 특히 미분적분학에서는 무한히 미분 가능하다는 것을 정의하고 다루고 싶은 것도 아니므로 $C^{1}$ 정도로만 매끄러워도 매끄러운 함수라고 한다. ‘연속적으로 미분 가능하다’와 정의가 같다.