매끄러운 함수의 정의
Definition of Smooth Function
정의
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함수 $f$가 무한히 미분 가능하면, $f$를 매끄러운smooth, 스무스 함수라고 한다.
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함수 $f$가 미분 가능하고 $f^{\prime}$가 연속이면, $f$를 매끄러운 함수라고 한다.
설명
$y= \left| x \right|$는 $x=0$에서 뾰족한 모양을 가지기 때문에 $x=0$에서 미분이 불가능하다. 따라서 모든 점에서 미분이 잘 되고, 미분한 함수도 여전히 뾰족하지 않을 때 매끄럽다 고 표현하는 것이다.
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해석학, 함수해석학 등에서 매끄럽다는 말은 첫번째 정의를 의미할 확률이 높다. 특히 함수공간에 대해서 얘기를 하고 있다면 매끄러운 함수란 $C^{\infty}$ 공간의 원소를 가리킨다.
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한편 미분적분학, 기하학 등에서 매끄럽다는 말은 두번째 정의를 의미할 확률이 높다. 여기에서는 함수가 딱히 무한히 미분가능해야할 필요도 없고, 특히 미분적분학에서는 무한히 미분 가능하다는 것을 정의하고 다루고 싶은 것도 아니므로 $C^{1}$ 정도로만 매끄러워도 매끄러운 함수라고 한다. ‘연속적으로 미분 가능하다’와 정의가 같다.
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