수리통계학에서 피벗의 정의

수리통계학에서 피벗의 정의

Definition of Pivot in Mathematical Statistics

정의 1

확률변수 $Q \left( \mathbf{X} , \theta \right) := Q \left( X_{1} , \cdots , X_{n} ; \theta \right)$ 의 확률분포가 모든 모수 $\theta$ 에 독립이면 $Q$ 를 피벗Pivot 혹은 피버탈 퀀터티Pivotal Quantity라 한다.

설명

당연하지만 $Q$ 는 통계량이다.

확률분포가 모든 모수 $\theta$ 에 독립이라는 말은 곧 $Q \left( \mathbf{X} , \theta \right)$ 의 누적분포함수 $F \left( bfx \right)$ 모든 $\theta$ 에 대해 같다는 것이다. 정의만 읽어보면 어차피 독립일 $\theta$ 가 왜 함수에 포함되어있나 궁금할 수 있을텐데, 다음의 설명을 보면 한번에 이해할 수 있을 것이다.

로케이션-스케일 패밀리

로케이션-스케일패밀리의 확률밀도함수 $f(x;\mu,\sigma)$ 가 주어져있다면, 그 피벗은 다음과 같다. $$ Q \left( X_{1} , \cdots , X_{n} ; \mu, \sigma \right) = {{ \overline{X} - \mu } \over { \sigma }} $$ 이 함수 $Q$ 는 명시적으로Explicitly $\mu$ 와 $\sigma$ 가 드러나 있지만, 반대로 그렇기 때문에 상쇄/약분되어 $Q$ 의 분포 자체는 $\mu$, $\sigma$ 에 독립이다.

피버팅

$$ \left\{ \mu_{0} : -1.96 \le {{ \mathbf{x} - \mu_{0} } \over { \sigma }} \le 1.96 \right\} $$ 가령 정규분포를 가정할 수 있는 상황이라면, 신뢰구간은 위와 같이 나타낼 수 있기도 하다. 이러한 맥락에서 신뢰구간 $C \left( \mathbf{x} \right)$ 자체를 피벗을 사용해 $$ C \left( \mathbf{x} \right) = \left\{ \theta_{0} : a \le Q \left( \mathbf{x} ; \theta_{0} \right) \le b \right\} $$ 처럼 나타내는 것을 피버팅Pivoting이라 한다.


  1. Casella. (2001). Statistical Inference(2nd Edition): p427. ↩︎

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