거리공간에서 근방, 집적점, 열림, 닫힘 📂거리공간

거리공간에서 근방, 집적점, 열림, 닫힘

definition of open in metric space at pma

정의

$(X,d)$가 거리공간이라고 하자. $p \in X$이고 $E \subset X$라고 하자.

  • $d(q,p)<r$을 만족하는 모든 $q$들을 포함하는 집합을 점 $p$의 근방neighborhood이라고 정의하고 $N_{r}(p)$라고 표기한다. 이때 $r$을 $N_{r}(p)$의 반경이라고 부른다. 거리를 생략해도 될 경우 $N_{p}$와 같이 표기하기도 한다.

  • $p$의 모든 근방이 $q\ne p$이고 $q\in E$인 $q$를 포함하고 있으면 $p$를 $E$의 집적점limit point이라고 부른다.

  • $p\in E$이면서 $p$가 $E$의 집적점이 아닐경우, $p$를 $E$의 고립점isolated point이라고 부른다.

  • $E$의 모든 집적점이 $E$에 포함될 경우 $E$가 닫혀있다closed고 한다.

  • $N\subset E$를 만족하는 $p$의 근방 $N$이 존재하면 $p$를 $E$의 내점interior point이라고 부른다.

  • $E$의 모든 점이 $E$의 내점일 경우 $E$가 열려있다open고 한다.

  • $p \in X$이고 $p \notin E$인 모든 $p$를 포함하는 집합을 $E$의 여집합complement이라 부르고 $E^{c}$라고 표기한다.

  • $E$가 닫혀있으면서 $E$의 모든 점이 $E$의 집적점이면 $E$가 완벽하다perfect하다고 한다.

  • $\forall p\in E,\ d(p,q)<M$을 만족하는 점 $q\in X$와 실수 $M$이 존재하면 $E$를 유계bounded라고 한다.

  • $X$의 모든 점이 $E$의 집적점이거나 $E$의 점일 경우, $E$는 $X$에서 조밀하다dense고 한다.

  • $E$의 모든 집적점들의 집합을 $E$의 도집합derived set이라 부르고 $E'$라고 표기한다.

  • $E$와 $E'$의 합집합을 폐포closure라 부르고 $\overline{E}=E\cup E'$라고 표기한다.

설명

위에서 말하는 열림, 집적점, 조밀함, 내점 등은 다른 스테이트먼트로 정의될 수도 있지만 본질적으로 같다. 각각이 개념을 왜 위와 같이 정의하고 이름을 붙였는지는 1차원, 2차원에서 직접 그림을 그려보면 감이 쉽게 올 것이다.고립점은 집적점이 아닌 점으로 정의하기 때문에 고립접이면서 동시에 집적점일 수는 없다. 이와는 다르게 열린 집합과 닫힌 집합은 각각 별개의 조건으로 정의된다. 따라서 이름에서 느껴지는 직관과는 다르게 열려있으면서 동시에 닫힌 집합이거나 열려있지도, 닫혀있지도 않은 집합이 존재할 수 있다. 전자의 예로$\mathbb{R}^{2}$가 있고 후자의 예로 $\left\{ {\textstyle \frac{1}{n}}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}$가 있다. 내점과 근방의 정의를 잘 생각해보면 $x$가 $E$의 내점일 조건은

$$ d(x,p) <\varepsilon \implies x \in E $$

가 성립하도록 하는 어떤 양수 $\varepsilon>0$가 존재하는 것과 같다. 위의 개념들와 관련된 몇 가지 정리와 증명을 소개한다. 위 정의에서의 노테이션을 그대로 따른다.

정리1

모든 근방은 열린 집합이다.

증명

$E=N_{r}(p)$라고 하자. 또한 임의의 $q \in E$를 생각해보자. 그러면 근방의 정의에 의해서 아래의 식을 만족하는 양의 실수 $h$가 반드시 존재한다.

$$ d(p,q)=r-h<r $$

그러면 거리의 정의에 의해서 $d(q,s)<h$를 만족하는 모든 $s$에 대해서 아래의 식이 성립한다.

$$ d(p,s)\le d(p,q)+d(q,s)<(r-h)+h=r $$

따라서 근방의 정의에 의해 $s \in E$이다. 이는 $q$의 근방 $N_{h}(q)$안의 어떤 점 $s$라도 $E$의 원소임을 보인 것이다. 따라서 $N_{h}(q) \subset E$이므로 $q$는 $E$의 내점이다. 처음에 $q$를 $E$의 임의의 점이라고 했으므로 $E$의 모든 점은 내점이다. 그러므로 $E$는 열린 집합이다.

정리2

집합 $E$가 열린 집합인 것은 $E^c$가 닫힌 집합인 것과 동치이다.

증명

  • $(\impliedby)$

    $E^c$가 닫혀있다고 가정하자. 이제 임의의 $p\in E$에 대해서 생각해보자. 그러면 $p \notin E^c$이고 닫혀있음의 정의에 의해 $p$는 $E^c$의 집적점이 아니다. 따라서 $N \cap E^c=\varnothing$을 만족하는 $p$의 근방 $N$이 존재한다. 이는 $N \subset E$를 의미하고 내점의 정의에 의해 $p$는 $E$의 내점이다. 임의의 $p\in E$가 모두 $E$의 내점이므로 정의에 의해 $E$는 열린 집합이다.

  • $(\implies)$

    $E$가 열려있다고 가정하자. 그리고 $p$를 $E^{c}$의 집적점이라고 하자. 그러면 집적점의 정의에 의해서 $p$의 모든 근방은 $E^{c}$의 점을 적어도 하나는 포함한다. 그러면 $p$의 모든 근방은 $E$에 포함되지 않고 이는 $p$가 $E$의 내점이 아니라는 의미이다. $E$는 열려있다고 가정했으므로 $p\notin E$이다. 따라서 $E^{c}$의 모든 집적점 $p$가 $E^{c}$에 포함되므로 $E^{c}$는 닫혀있다.

정리3

$p$를 $E$의 집적점이라고 하자. 그러면 $p$의 근방은 무수히 많은 $E$의 점을 원소로 가진다.

이를 다르게 표현하면 ‘유한 집합은 집적점을 가지지 않는다’, ‘집적점을 가지는 집합은 무한 집합이다’이다.

증명

$p$의 근방 $N$이 $E$의 유한개의 원소만을 포함한다고 가정하자. 그리고 $q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}$을 $p$가 아닌 $N\cap E$의 점들이라고 하자. 그리고 $p$와 $q_{i}$의 거리들 중 최솟값을 $r$이라 하자.

$$ r= \min \limits _{1\le i \le n}d(p,q_{i}) $$

각각의 $q_{i}$들은 $p$와 다른 점이므로 모든 거리는 양수이고 양수들 중에서 최솟값을 골라도 양수이므로 $r>0$이다. 이제 $p$의 다른 근방 $N_{r}(p)$를 생각해보자. 그러면 근방과 거리의 정의에 의해서 $N_{r}(p)$에는 어떤 $q_{i}$도 포함되지 않는다. 그러면 집적점의 정의에 의해 $p$는 $E$의 집적점이 아니다. 이는 $p$는 $E$의 집적점이라는 사실에 모순이다. 따라서 귀류법에 의해 가정이 잘못됐음을 알 수 있다. 따라서 위의 정리가 성립한다.

따름정리

유한개의 점만을 가지는 집합은 집적점을 가지지 않는다.

정리4

거리공간 $(X,d)$와 $E \subset X$에 대해서 아래의 사실들이 성립한다.$(a)$ $\overline{E}$는 닫혀있다.$(b)$ $E=\overline{E}$인 것과 동치는 $E$가 닫혀있는 것이다.$(c)$ $E\subset F$를 만족하는 모든 닫힌 집합 $F\subset X$에 대해서 $\overline{E} \subset F$가 성립한다.

$(a)$와 $(c)$에 의해서 $\overline{E}$는 $E$를 포함하는 가장 작은 $X$의 닫힌 부분집합이다.

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