행렬함수, 행렬 지수함수의 정의 📂함수

행렬함수, 행렬 지수함수의 정의

Definition of Matrix Function and Matrix Exponential Function

정의1

$$ \mathbf{x}(t) = \begin{pmatrix} x_{1}(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{pmatrix},\quad \mathbf{A}(t) = \begin{pmatrix} a_{11}(t) & \cdots & a_{1m}(t) \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1}(t) & \cdots & a_{nm}(t) \end{pmatrix} $$

위와 같이 행렬의 각 성분이 변수 $t$에 대한 함수이면, 이를 행렬 함수matrix function라고 한다.

  • $\mathbf{A}(t)$의 모든 성분, 즉 모든 $a_{ij}$가 주어진 점(혹은 구간)에서 연속이면 $\mathbf{A}(t)$가 연속이라고 한다.

  • $\mathbf{A}(t)$의 모든 성분이 미분 가능하면 $\mathbf{A}(t)$가 미분가능하다고 한다. $\mathbf{A}(t)$의 도함수를 $\dfrac{d \mathbf{A}(t)}{dt}$로 나타내고 아래와 같이 정의한다.

    $$ \frac{d \mathbf{A}}{dt} := \left[ \frac{d a_{ij}}{dt} \right] $$

  • $\mathbf{A}(t)$의 각 성분의 적분을 성분으로 가지는 행렬을 $\mathbf{A}(t)$의 적분이라 한다.

    $$ \int_a^b\mathbf{A}(t) dt := \left[ \int_a^ba_{ij}(t)dt \right] $$

  • 행렬의 지수함수 $e^{(\cdot)t} : M_{n\times n} \to M_{n\times n}$를 다음과 같이 정의한다.

    $$ e^{\mathbf{M} t}:=\sum \limits_{n=0}^\infty \frac{\mathbf{M}^n t^n}{n!}=\mathbf{I}+\mathbf{M}t + \frac{ \mathbf{M}^2t^2}{2!}+\frac{\mathbf{M}^3t^3}{3!}\cdots $$

설명

미분에 대해서 아래와 같은 성질을 갖는다. $\mathbf{A}(t)$, $\mathbf{B}(t)$가 행렬함수이고, $\mathbf{C}$가 상수행렬일 때,

$$ \frac{d}{dt}( \mathbf{CA})=\mathbf{C} \frac{ d \mathbf{A} }{dt} $$

$$ \frac{ d }{dt} ( \mathbf{A} + \mathbf{B})=\frac{ d \mathbf{A} }{dt} +\frac{d \mathbf{B}}{dt} $$

$$ \frac{d}{dt}(\mathbf{AB})=\mathbf{A}\frac{d \mathbf{B}}{dt}+\frac{d\mathbf{A}}{dt}\mathbf{B} $$

예시

행렬 $\mathbf{A}(t)$가 아래와 같다고 하자.

$$ \mathbf{A}(t) = \begin{pmatrix} \sin t & t \\ 1 & \cos t \end{pmatrix} $$

그러면 $\mathbf{A}(t)$는 전체 구간에서 연속이고, 미분과 적분은 다음과 같다.

$$ \mathbf{A}^{\prime}(t)=\begin{pmatrix} \cos t & 1 \\ 0 & -\sin t \end{pmatrix},\quad \int_0^\pi \mathbf{A}(t)dt=\begin{pmatrix} 2 & \pi^2/2 \\ \pi & 0 \end{pmatrix} $$

행렬 지수함수

정의와 같이 상수행렬을 지수의 계수로 갖는 함수를 행렬 지수함수라고 한다. 그런데 그 정의를 구체적으로 떠올려보라고 하면 다음과 같은 생각이 드는 것은 자연스러울 것이다.

$$ e^{\mathbf{A}t}:= \left( e^{a_{ij}t} \right)=\begin{pmatrix} e^{a_{11}t} &\cdots & e^{a_{1n}t} \\ \vdots & & \vdots \\ e^{a_{n1}t} & \cdots& e^{a_{nn}t} \end{pmatrix} $$

하지만 위와 같이 정의하면 지수함수의 정의인 $\dfrac{d e^{t}}{dt} = e^{t}$를 만족시키지 못한다. 급수꼴로 정의하면 다음과 같이 이를 잘 만족함을 알 수 있다.

$$ \begin{align*} \frac{d}{dt}\big( e^{\mathbf{A}t}\big) &=\frac{d}{dt}\left(\sum \limits_{n=0}^\infty \frac{\mathbf{A}^n t^{n}}{n!}\right) \\ &= \frac{d}{dt}\left( \mathbf{I}+\mathbf{A}t + \frac{ \mathbf{A}^2t^2}{2!}+\frac{\mathbf{A}^3t^3}{3!}\cdots \right) \\ &=\mathbf{A}+ \frac{\mathbf{A}^2t}{1!}+\frac{\mathbf{A}^3t^2}{2!}+\cdots \\ &= \mathbf{A} \left( \mathbf{I} + \mathbf{A}t + \frac{\mathbf{A}^2t^2}{2!}+\cdots \right) \\ &= \mathbf{A} \sum \limits_{n=0}^\infty \frac{\mathbf{A}^n t^n}{n!} \\ &=\mathbf{A} e^{\mathbf{A}t} \end{align*} $$


  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p292-293, 332 ↩︎

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