물리학에서 질량 힘 운동량의 정의

물리학에서 질량 힘 운동량의 정의

질량1

뉴턴의 운동 법칙에서 관성이란 운동의 변화에 저항하는 성질이라고 설명했다. 즉 관성이 크면 운동하기 어렵고 관성이 작으면 운동하기 쉽다는 말이다. 이는 가벼운 물체를 밀어 옮기는 것보다 무거울 물체를 밀어 옮기는 것이 더 힘들다는 경험과 딱 맞아 떨어진다. 즉, 관성의 크고 작음은 질량의 크고 작음으로 말할 수 있다. 질량이란 물체가 무겁고 가벼운 정도를 말하는 것이다. 이는 질량의 의미를 정의한 것이다. 질량의 값을 정의하는 방법은 아래와 같다.

두 물체가 있다고 가정하자. 각 물체의 질량을 $m_{1}$, $m_{2}$라고 하자. 그리고 두 물체 사이에 용수철을 끼워 양쪽에서 눌렀다가 뗀 상황을 생각해보자. 두 물체는 각각 속도 $\mathbf{v}_{1}$, $\mathbf{v}_{2}$로 튕겨져 나간다. 이때 두 물체의 질량의 비를 아래와 같이 정의한다.

$$ \frac{m_{2}}{m_{1}}=\left|\frac{\mathbf{v}_{1}}{\mathbf{v}_{2}} \right| $$

이때 물체1의 질량 $m_{1}$을 기준으로 삼으면 다른 물체(물질)들의 질량을 결정할 수 있다.

운동량과 힘

물체의 질량과 속도의 곱을 운동량momentum이라 하고 $\mathbf{p}$라고 쓴다. 각운동량과 구별하기 위해 선운동량이라고 부르기도 한다.

$$ \mathbf{p}=m\mathbf{v} $$

운동량은 이름 그대로 운동하는 물체가 가지고 있는 물리량이다. 따라서 물체의 운동에 변화가 일어났다는 것은 물체의 운동량이 증가하거나 감소했다는 것과 같다. 그러면 뉴턴의 제2 법칙에서 말하는 운동의 변화시간에 따른 운동량의 변화라고 할 수 있다. 또한 을 물체의 운동을 변화시키는 것이라고 하였으므로 운동량의 정의로부터 뉴턴의 제 2법칙을 아래의 수식으로 나타낼 수 있다.

$$ \begin{equation} \mathbf{F}=k\frac{ d \mathbf{p}}{ d t } \label{eq1} \end{equation} $$

이를 풀어서 설명하면 ‘물체에 가해진 힘 $\mathbf{F}$는 물체의 운동량의 변화량에 비례한다’이다. 여기서 $k$는 비례상수이다. 물체의 질량 $m$이 시간이 흐름에 따라 변하지 않는다고 가정하면(고등학교 물리부터 대학 물리까지 많은 상황에서 이러하다) 위의 식을 아래와 같이 쓸 수 있다. $$ \mathbf{F}=k\frac{d(m\mathbf{v})}{dt}=km\frac{d \mathbf{v}}{dt}=km\mathbf{a} $$ 여기서 $\mathbf{a}$는 질량이 $m$인 물체에 힘 $\mathbf{F}$가 작용했을 때 물체가 가지는 가속도이다. 비례 상수를 $k=1$이라 하면 유명한 그 식이 된다. $$ \mathbf{F}=m\mathbf{a} $$ 뉴턴의 운동 법칙과 위의 정의로부터 자연스럽게 운동량 보존 법칙이 나온다. $\eqref{eq1}$의 좌변은 물체계(혹은 입자계)에 작용하는 알짜 힘이고 우변은 물체계의 운동량의 변화율이다. 외력이 존재하지 않으면 운동량의 변화율이 $0$이기 때문에 운동량이 보존된다는 것을 알 수 있다.


  1. Grant R. Fowles and George L. Cassiday, Analytical Mechanics (7th Edition, 2005), p ↩︎

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