물리학에서 운동 에너지, 퍼텐셜 에너지의 정의

물리학에서 운동 에너지, 퍼텐셜 에너지의 정의

definition of kinetic energy and potential energy in physics

운동 에너지1

이 위치에만 의존할 때 즉, 속도나 시간에 대해 독립일 때, 입자의 직선운동의 운동방정식(미분방정식)은 아래와 같다.

$$ \begin{equation} F(x)=m\ddot{x} \label{force1} \end{equation} $$

이 때 가속도 $\ddot{x}$를 아래와 같이 속도에 대해서 표현할 수 있다.

$$ \begin{align*} \ddot{x} &= \dfrac{d \dot{x}}{dt} \\ &=\dfrac{dv}{dt} \\ &=\dfrac{dv}{dx} \dfrac{dx}{dt} \\ &=v\dfrac{dv}{dx} \\ &= \frac{1}{2}\frac{ d (v^{2})}{ dx } \end{align*} $$

이를 $\eqref{force1}$에 대입하면

$$ F(x)=m\ddot{x}= m\frac{1}{2}\frac{d(v^{2})}{dx}=\frac{ d }{ dx }\left( \frac{1}{2}mv^{2} \right) $$

위 식의 괄호안의 물리량을 입자의 운동 에너지kinetic energy라고 정의하고 $T$라고 표기하자.

$$ T=\dfrac{1}{2}mv^2 $$

그러면 운동 방정식 $\eqref{force1}$은 아래와 같이 표현된다.

$$ F(x)=\dfrac{dT}{dx} $$

운동 에너지의 기호는 kinetic의 앞글자를 따서 $K$나 $E_{K}$로 쓰이기도 한다.

퍼텐셜 에너지

이제 함수 $V(x)$를 다음과 같이 정의하자.

$$ -\dfrac{dV(x)}{dx}=F(x) $$

위 식과 같이 정의되는 함수 $V(x)$를 퍼텐셜 에너지potential energy라고 부른다2. 그러면 운동 에너지와 같이 아래의 식으로 쓸 수 있다.

$$ -\frac{ d V(x)}{ d x}=F(x)=\frac{ d T}{ d x} $$

위 식을 처음 위치 $x_{0}$부터 나중 위치 $x_{1}$까지 적분하면 다음과 같다.

$$ -V(x_{1}) +V(x_{0}) =T_{1}-T_{0} $$

위 식이 의미하는 것은 물체가 운동하는 동안 퍼텐셜 에너지의 변화량과 운동 에너지의 변화량이 서로 크기는 같고 부호는 다르다는 것이다. 즉, 한 쪽이 증가하면 한 쪽이 같은 크기 만큼 감소한다. 이는 둘의 합이 항상 일정하다는 의미이다. 따라서 둘의 합을 입자의 총 에너지total energy 혹은 역학적 에너지mechanical energy라고 하고 $E$라고 표기하자.

$$ E=T_{0}+V(x_{0})=T_{1}+V_{x_{1}} $$

위 식을 에너지 방정식energy equation이라 부른다. 위에서 봤듯이 힘을 위치에 대한 함수인 퍼텐셜 에너지 $V(x)$로부터 얻을 수 있는 경우에 입자의 역학적 에너지가 보존되므로, 그 힘을 보존력conservative force이라 부른다. 보존력이 아닌 경우, 즉 위치에 따른 퍼텐셀 에너지가 존재하지 않는 경우 비보존력nonconservative force이라 부른다. 비보존력이 물체에 작용하는 경우에는 물체의 역학적 에너지가 보존되지 않는다.


  1. Grant R. Fowles and George L. Cassiday, Analytical Mechanics (7th Edition, 2005), p63-64 ↩︎

  2. 라떼는 위치 에너지라고 불렀다. 정확하게 말하자면 ‘위치 에너지=중력의 퍼텐셜 에너지’이다. ↩︎

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