미분기하에서 내재적/본질적의 정의

미분기하에서 내재적/본질적의 정의

정의

미분기하에서 제1 기본형식의 계수 $g_{ij}$에만 의존하는 함수를 내재적intrinsic, 본질적이라 한다.

설명1 2

리만 메트릭의 계수 $g_{ij}$가 알려져 있다면, 곡면을 벗어나지 않고도 곡면 위의 곡선의 길이와 곡면의 넓이를 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$ \text{length of } \alpha = \int_{a}^{b} \sqrt{ g_{ij} \alpha_{i}^{\prime} \alpha_{j}^{\prime} } dt = \int_{a}^{b} \sqrt{ E\left( \dfrac{d u_{1}}{dt} \right)^{2} + 2F\dfrac{d u_{1}}{dt}\dfrac{d u_{2}}{dt} + G\left( \dfrac{d u_{2}}{dt} \right)^{2}} dt $$

$$ \text{area of } R = \iint _{Q} \sqrt{g} du_{1}du_{2} = \iint _{Q} \sqrt{EG-F^{2}} du_{1}du_{2} $$

이는 곡면 바깥에 대한 정보(예를 들면 단위 노멀 $\mathbf{n}$)를 사용하지 않고 접평면에서의 정보(제1 기본형식의 계수)만을 통해서 구할 수 있다는 의미를 갖는다. 따라서 이런식으로 계산할 수 있는 것들을 intrinsic이라고 한다.

곡면 $M$을 내재적인intrinsic 관점에서 본다는 말은 $M$을 전체공간 그 자체로 생각한다는 말이고, 외재적인extrinsic 관점에서 본다는 말은 $M \subset \R^{3}$와 같이 $\R^{3}$의 부분공간으로 생각하겠다는 말이다.

intrinsic한 것들의 예시는 다음과 같다.

예시


  1. Barrett O’Neill, Elementary Differential Geometry (Revised 2nd Edition, 2006), p263 ↩︎

  2. Manfredo P. Do Carmo Differential Geometry of Curves & Surfaces (Revised & Updated 2nd Edition, 2016), p220-221 ↩︎

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